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The optimal convergence rate of the p-version of the finite element method. (English) Zbl 0637.65103
Bei den Finite-Element-Methoden unterscheidet man zwei Vorgehensweisen: Die h-Version und die p-Version. Erstere läßt den Polynomgrad p fest und verringert zur Erhöhung der Genauigkeit den Gitterparameter h. Bei der letzteren dagegen wird für Konvergenzuntersuchungen bei festem Maschennetz der Polynomgrad p erhöht. Die p-Version ist relativ neu und wurde wohl erstmals 1981 vom 1. Verf. und von B. A. Szabo und I. N. Katz [(*) ibid. 18, 515-545 (1981; Zbl 0487.65059)] vorgeschlagen und theoretisch untersucht. Die Autoren gewannen damals Fehlerabschätzungen der Form \[ \| e\|_{H^ 1}\leq C(\epsilon)\cdot p^{-k+1+\epsilon}\cdot \| u\|_{h^ k}(\epsilon >0\quad bel.\quad klein), \] bzw. \(\| e\|_{H^ 1}\leq C(\epsilon)\cdot p^{-2\alpha +\epsilon}\) für singuläres Verhalten der Lösung bei \(r=0:u\approx r^{\alpha}\), \(\alpha >0\). Als Hauptergebnis dieser Arbeit nun wird die - bereits vermutete - Tatsache bewiesen, daß obige Abschätzungen ganz unabhängig von \(\epsilon\) gelten: \(\| e\|_{H^ 1}\leq C\cdot p^{-k+1}\cdot \| u\|_{H^ k}\) bzw. \(\| e\|_{H^ 1}\leq C\cdot p^{- 2\alpha}.\) Die Beweisideen und Beweistechniken unterscheiden sich hier z. T. wesentlich von denen aus der Arbeit (*).
Reviewer: F.v.Finckenstein

MSC:
65N30 Finite element, Rayleigh-Ritz and Galerkin methods for boundary value problems involving PDEs
65N15 Error bounds for boundary value problems involving PDEs
35J25 Boundary value problems for second-order elliptic equations
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