×

Extremal problems for quasiconformal mappings in space. (English) Zbl 0631.30016

Nach H. Grötzsch ist die möglichst konforme eckpunkttreue Abbildung zweier Rechtecke aufeinander affin und eindeutig bestimmt. Das überträgt sich durch anschließende konforme Abbildung auf kompliziertere Situationen, was vornehmlich durch O. Teichmüller weiterentwickelt wurde. Vom Ref. [Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle- Wittenberg, Math.-Naturw. R. 11, 729-732 (1962; Zbl 0142.333)] wurde gezeigt, daß die Unitätsaussage bei analoger räumlicher Abbildung zweier Quader aufeinander im allgemeinen nicht gilt für die üblicherweise betrachtete lineare Dilatation, sowie für innere und äußere Dilatationen. Diese Dilatationen erscheinen dadurch wenig geeignet für solche Fragestellungen.
Hier wird nun diese Unitätsaussage tatsächlich bewiesen für die sogenannte Spurdilatation. (Das Entsprechende war schon kürzlich auch für die sogenannte Earle-Ahlfors-Dilatation gezeigt worden, falls letztere hinreichend klein ist: S. Agard und R. Fehlmann [Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A I 11, 87-110 (1986; Zbl 0535.30019)].) Es werden noch einige Verallgemeinerungen (im Sinne der Theorie von Teichmüller-Strebel-Reich im ebenen Analogon) und Modifizierungen der Aufgabe (z.B. Quasikonformität im Mittel) betrachtet. Diese bemerkenswerten Untersuchungen werden sicher die Theorie der Extremalprobleme bei räumlichen quasikonformen Abbildungen sehr beleben.
Reviewer: R.Kühnau

MSC:

30C62 Quasiconformal mappings in the complex plane
30C75 Extremal problems for conformal and quasiconformal mappings, other methods
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI

References:

[1] S. Agard,On the extremality of affine mappings with small dilatation, Ann. Acad. Sci. Fenn. A I Math. 6 (1981), 95–112. · Zbl 0502.30014
[2] S. Agard and R. Fehlmann,On the extremality and unique extremality of affine mappings in space, Ann. Acad. Sci. Fenn. AI Math.11 (1986), 87–110. · Zbl 0535.30019
[3] L. V. Ahlfors,A somewhat new approach to quasiconformal mappings in R n , inComplex Analysis, Kentucky 1976, Proceedings of the Conference held at the University of Kentucky, J. D. Buckholz and T. J. Suffridge (eds.), Lecture Notes in Math.599, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York, 1977, pp. 1–6.
[4] E. Blum,Die ExtremalitÄt gewisser Teichmüllerscher Abbildungen des Einheitskreises, Comment. Math. Helv.44 (1969), 319–340. · Zbl 0175.36901
[5] N. Bühlmann,Konvergenzbetrachtungen bei quasikonformen Abbildungen im R3 mittels SÄtzen von K. Strebel, Comment. Math. Helv.51 (1976), 301–318. · Zbl 0363.30034
[6] F. W. Gehring,Rings and quasiconformal mappings in space, Trans. Am. Math. Soc.103 (1962), 353–393. · Zbl 0113.05805
[7] F. W. Gehring,Quasiconformal mappings in space. Bull. Am. Math. Soc.69 (1963), 146–164. · Zbl 0113.29002
[8] F. W. Gehring and J. VÄisÄlÄ,The coefficients of quasiconformality of domains in space, Acta Math.114 (1965), 1–70. · Zbl 0134.29702
[9] H. Grötzsch,über die Verzerrung bei schlichten nichtkonformen Abbildungen und über eine damit zusammenhÄngende Erweiterung des Picardschen Satzes, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig80 (1928), 503–507. · JFM 54.0378.02
[10] R. Kühnau,Elementare Beispiele von möglichst konformen Abbildungen im dreidimensionalen Raum, Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle-Wittenberg 11, math.-nat. Reihe (1962), 729–732. · Zbl 0142.33301
[11] E. Reich,On extremality and unique extremality of affine mappings, inTopics in analysis. Colloquium on Mathematical Analysis, JyvÄskylÄ 1970, Olli Lehto, I. S. Louhivaara and Rolf Nevanlinna (eds.). Lecture Notes in Math.419, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1974, pp. 294–304.
[12] E. Reich,On criteria for unique extremality of Teichmüller mappings, Ann. Acad. Sci. Fenn. A. I. Math.6 (1981), 289–302. · Zbl 0448.30023
[13] E. Reich and K. Strebel,On the extremality of certain Teichmüller mappings, Comment. Math. Helv.45 (1970), 353–362. · Zbl 0198.11204
[14] E. Reich and K. Strebel,Extremal quasiconformal mappings with given boundary values, inContributions to Analysis, a collection of papers dedicated to Lipman Bers, Academic Press, New York, 1974, pp. 375–391.
[15] E. Reich and K. Strebel,Quasiconformal mappings of the punctured plane, inComplex Analysis – Fifth Romanian-Finnish Seminar, Bucharest 1981, C. Andreian Cazacu, N. Boboc, M. Jurchescu and I. Sucin (eds.). Lecture Notes in Math.1013, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, 1983, pp. 182–212.
[16] G. C. Sethares,The extremal property of certain Teichmüller mappings. Comment. Math. Helv.43 (1968), 98–119. · Zbl 0162.38002
[17] K. Strebel,Eine AbschÄtzung der Lange gewisser Kurven bei quasikonformer Abbildung, Ann. Acad. Sci. Fenn. A I243 (1957), 1–10. · Zbl 0079.29804
[18] K. Strebel,Zur Frage der Eindeutigkeit extremaler quasikonformer Abbildungen des Einheitskreises, Comment. Math. Helv.36 (1962), 306–323. · Zbl 0112.05402
[19] K. Strebel,Zur Frage der Eindeutigkeit extremaler quasikonformer Abbildungen des Einheitskreises II, Comment. Math. Helv.39 (1964), 77–89. · Zbl 0147.07202
[20] K. Strebel,Ein Konvergenzsatz für Folgen quasikonformer Abbildungen, Comment. Math. Helv.44 (1969), 469–475. · Zbl 0184.31002
[21] O. Taari,Einige Extremalprobleme für n-dimensionale quasikonforme Abbildungen, Ann. Acad. Sci. Fenn. A I553 (1973), 1–18. · Zbl 0265.30026
[22] O. Taari,Extremal quasiconformal mappings of a cone, Ann. Acad. Sci. Fenn. A I Math.1 (1975), 65–76. · Zbl 0315.30031
[23] P. Tukia and J. VÄisÄlÄ,A remark on 1-quasiconformal maps, Ann. Acad. Sci. Fenn. AI Math.10 (1985), 561–562. · Zbl 0533.30019
[24] J. VÄisÄlÄ,On quasiconformal mappings in space, Ann. Acad. Sci. Fenn. AI298 (1961), 1–36.
[25] J. VÄisÄlÄ,Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lecture Notes in Math.229, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1971, pp. 1–144.
[26] J. VÄisÄlÄ,Piecewise quasiconformal maps are quasiconformal, Ann. Acad. Sci. Fenn. A I Math.1 (1975), 3–6. · Zbl 0315.30030
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.