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Global real analytic solutions of the Cauchy problem for linear partial differential equations. (English) Zbl 0628.35015

L’A. considère le problème de Cauchy suivant \[ (*)\quad L(u)=D^ u_ t+\sum A_ i(t,x)D_ ju+B(t,x)u=0;\quad u(0,x)=u_ 0(x) \] dans la bande \([0,T_ 0]\times {\mathbb{R}}^ n\). Ici \(D_ t=(1/i)(\partial /\partial t)\), \(D_ j=(1/i)(\partial /\partial x_ j)\), \(A_ j(t,x)\), B(t,x) sont des \(d\times d\) matrices dont les coefficients appartiennent à \(C^ 0(0,T_ 0\); \({\mathcal O}(\Gamma_{\rho_ 0}))\) où \({\mathcal O}(\Gamma_{\rho_ 0})\) est l’espace des fonctions holomorphes dans \(\Gamma_{\rho_ 0}=\{x+iy:\) \(x\in {\mathbb{R}}^ n\), \(| y| <\rho_ 0\}\). Si \(\lambda_ j(t,x,y,\xi)\) \((j=1,...,d)\) sont les valeurs propres de la matrice caractéristique \(A(t,x+iy,\xi)\), on note avec \(F(t,a)=\sup_{{\mathbb{R}}^ n\times S^{n-1}\times S^{n-1}\times [1,...,d]}[Im \lambda_ j(a,x,\omega,\xi)]\) \((a>0)\). Le résultat de l’A. est le suivant: Si \(T_ 0>0\) et si il existe \(c>0\) tel que \(e^{- (c^ 2+x^ 2_ 1+...+x^ 2_ n)^{1/2}} u_ 0\in {\mathcal O}(\Gamma_{\rho_ 0})\) et si il existe une fonction \(a(t)\in C^ 1(0,T_ 0)\) telle que \(-a'(t)>F(t,a(t))\), \(t\in [0,T_ 0]\) et \(0<a(0)<\rho_ 0\) alors le PC (*) possède une solution unique u(x,t) dans \(C^ 1(0,T_ 0\); \({\mathcal O}(\Gamma_{a(T_ 0)}))\). Ceci généralise un cas où les coefficients de (*) dépendent aussi des variables spatiales, un résultat d’E. Jannelli [ibid. 9, 1373- 1406 (1984; Zbl 0559.35011)]. D’autre part, on obtient du résultat de l’A. aussi le resultat - maintenant classique - de J. M. Bony et P. Schapira [Invent. Math. 17, 95-105 (1972; Zbl 0225.35008)]. L’ideé de la démonstration consiste à transformer l’opérateur initial L(t,x,D) par une application exponentielle \(e^{\Lambda (a(t))}\), où \(\Lambda (a(t))=a(t)<D>_ h\), et \(D_ h=(h^ 2- \Delta)^{1/2}\) \((h>0)\), en un opérateur \(L_{\Lambda}\) parabolique dans \([0,T_ 0]\times {\mathbb{R}}^ n\) pour lequel on sait que le P.C. est bien posé. Donc le P.C. et bien posé pour L(t,x,D) dans les espaces de Sobolev pondérés \(W_ 0^{\Lambda (a(t))}=\{u\in L^ 2\), \(e^{\Lambda (a(t))}u\in L^ 2\}\). Pour cela on étudie ces espaces (en fait des espaces de fonctions analytiques) et le fait que les opérateurs pseudodifférentiels analytiques y sont bornés. Ensuite la démonstration du théorème se fait en le réduisant au résultat classique de Petrovski-Mizohata.
L’A. indique qu’un résultat similaire a été obtenu par S. Wakabayashi en réduisant l’opérateur L à un opérateur strictement hyperbolique.
Reviewer: G.Gussi

MSC:

35F10 Initial value problems for linear first-order PDEs
35B65 Smoothness and regularity of solutions to PDEs
35D05 Existence of generalized solutions of PDE (MSC2000)
46E35 Sobolev spaces and other spaces of “smooth” functions, embedding theorems, trace theorems
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References:

[1] DOI: 10.1007/BF01418934 · Zbl 0225.35008 · doi:10.1007/BF01418934
[2] Bony, J. M. and Schapira, P. 1973.Solutions hyperfonctions du du problème de Cauchy, Hyperfunction and Pseudo–differential equations, 82–98. Springer. · Zbl 0258.35062
[3] DOI: 10.1080/03605308408820366 · Zbl 0559.35011 · doi:10.1080/03605308408820366
[4] Kumano–go H., Pseudo–differential operators (1981)
[5] Mizohata, S. 1959.Le pròbleme de Cauchy pour les systèmes hyperboliques et paraboliques, Vol. 32, 181–212. Memoirs of College of Sciences University of Kyoto. · Zbl 0095.29801
[6] Mizohata S., J. Math.Kyoto Univ 1 pp 327– (1961)
[7] Petrovski L. G., de L’université d’Etat de Moscow Fas 2 pp 1– (1937)
[8] Nagumo M., Japan J. Math 18 pp 1489– (1914)
[9] S. Wakabayashi; Generalized flows and their application, to appear · Zbl 0597.58039
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