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The numerical analysis of ordinary differential equations. Runge-Kutta and general linear methods. (English) Zbl 0616.65072
A Wiley-Interscience Publication. Chichester etc.: John Wiley & Sons. XV, 512 p. £38.50 (1987).
Der Verfasser dieses Buches hat die heute vorliegende Theorie der Näherungsverfahren für Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen während der letzten 25 Jahre entscheidend mitgeprägt. In der jetzt erschienenen Monographie ist diese langjährige Arbeit zu einem Ganzen über die Theorie der Runge-Kutta- Verfahren und der umfassenderen Klasse allgemeiner linearer Methoden geronnen. Es ist erstaunlich zu sehen, wie jede Seite (die letzten 100 Seiten ausgenommen, die eine erschöpfende Bibliographie der bis zum Jahre 1982 erschienenen Arbeiten beinhalten) die ganz persönliche Handschrift des Verfassers zum Ausdruck bringt, und zwar sowohl im Inhalt als auch in der Form der Darstellung. Und bei beiden sticht eine besondere mathematische Eleganz ins Auge. Die vorgeführten Beweise vermitteln den Eindruck, daß es kürzer und prägnanter nicht mehr geht. Es ist ein Vergnügen, dieses Buch zur Hand zu nehmen.
Das hervorstechende Kapitel ist der Analysis der Runge-Kutta-Verfahren gewidmet. Auf 183 Druckseiten (von den nach Abzug der Bibliographie verbliebenen 407 Seiten) werden die Ordnungsbedingungen für explizite und implizite Verfahren in sehr transparenter Weise abgehandelt, die verschiedenen Stabilitätsbegriffe (A-, AN-, nichtlineare und algebraische Stabilität) und ihre Zusammenhänge untereinander werden dargestellt, Methoden zur Fehlerschätzung werden angegeben. In einem Abschnitt wird der Raum der Runge-Kutta-Verfahren mit seinen algebraischen Eigenschaften studiert. Die benötigten Begriffe aus der Graphentheorie und auch weitere grundlegende Tatsachen aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, der Differenzengleichungen und der numerischen Approximation sind im 1. Kapitel (104 S.) enthalten. Im zweiten Kapitel (47 S.) führt der Verf., ausgehend vom Euler- Verfahren, in sinnfälliger Weise die verschiedenen bekannten Verfahrenstypen ein.
Die Spannweite des Buches wird wesentlich erweitert durch das vierte Kapitel (73 S.) über allgemeine lineare Methoden. Sie sind von der Gestalt \[ y_ i^{(n)}=\sum^{N}_{j=1}a_{ij}y_ j^{(n- 1)}+h\sum^{N}_{j=1}b_{ij}f(y_ j^{(n)})+h\sum^{N}_{j=1}c_{ij}f(y_ j^{(n-1)}), \] i\(=1,2,...,N\). In dieser Klasse sind Runge-Kutta-Verfahren, lineare Mehrschrittverfahren, Prädiktor-Korrektor-Verfahren, One-leg-Methoden, zyklische Verfahren als Spezialfall enthalten. Es ist in keiner Weise evident, wie für diesen Fall die Begriffe der Konsistenz, Ordnung des Verfahrens zu fassen sind. Der Verfasser stellt seinen algebraisch orientierten Zugang zu diesen Fragen ausführlich dar und wendet sich dann den verschiedenen existierenden Stabilitätsbegriffen auch für diese Klasse zu.
Das vorliegende Buch sollte in keiner einschlägigen Bibliothek fehlen, wenn es auch weiterer bedarf, um die Sichtweisen der Materie durch andere Autoren verfügbar zu haben.
Reviewer: R.D.Grigorieff

MSC:
65L05 Numerical methods for initial value problems
65-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to numerical analysis
34A34 Nonlinear ordinary differential equations and systems, general theory
65J99 Numerical analysis in abstract spaces
39A10 Additive difference equations
65L20 Stability and convergence of numerical methods for ordinary differential equations
34A12 Initial value problems, existence, uniqueness, continuous dependence and continuation of solutions to ordinary differential equations
Software:
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