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Uniqueness in certain first-order nonlinear complex Cauchy problems. (English) Zbl 0609.35019
Bekantlich kann man die Lösung des reellen Anfangswertproblems (”AWP”) \(u(0,x)=\phi (x)\), (1) \(u_ t=a(t,x)u_ x\) bei Kenntnis einer nichtkonstanten Lösung Z(t,x) von (1) darstellen in der Form (2) \(u=\phi_ 0(Z(0,\cdot))^{-1}\circ Z\), wobei \((Z(t,\cdot))^{-1}(\xi)\) die ”partielle Umkehrfunktion von Z bezüglich der zweiten Variablen” bedeutet.
Ein wichtiges Ergebnis der vorliegenden Arbeit (vergl. insbesondere deren Appendix) läßt sich dahingehend zusammenfassen, daß eine analoge Lösungsformel auch bei Zulassung von komplexwertigem a, u und \(\phi\) besteht, nämlich die Formel \[ (3)\;u=(HEX(\phi \circ (Z(0,\cdot))^{-1}))\circ Z, \] welche sich von (2) lediglich durch die Einschiebung des Operators ”HEX” (holomorphic extension) unterscheidet. Ein wesentlicher Unterschied zum reellen Fall besteht allerdings in der Existenz von komplexwertigen Funktionen \(a(t,x)\) für die (1) keine nichtkonstante Lösung besitzt [vergl. L. Nirenberg: Lectures on linear partial differential equations (1973; Zbl 0267.35001)]. Versehen mit diesem Rüstzeug gehen nun die Autoren an die Bearbeitung auch des nichtlinearen komplexen AWP’s \[ (4)\;u_ t=F(t,x,u,u_ x),\quad u(0,x)=\phi (x). \] Die zentrale Idee der vorliegenden Arbeit besteht in der Konstruktion von zwei Funktionen G und \(G_ 1\) derart, daß nach Einführung der neuen abhängigen Variablen \[ (5)\;w=G(t,x,u,u_ x),\quad w_ 1=G_ 1(t,x,u,u_ x) \] das nichtlineare AWP (4) übergeht in das bezüglich \(w,w_ 1\) lineare AWP \[ w_ t=aw_ x,\quad w(0,x)=\phi (x);\quad w_{1t}=aw_{1x},\quad w_ 1(0,x)=\phi'(x), \] wobei allerdings der Koeffizient a gemäß \(a=F_{u_ x}(t,x,u,u_ x)\) noch von u abhängt. Wenn nun das AWP (4) überhaupt eine Lösung u besitzt, so ist auch \(v_ t=av_ x\) lösbar (eine Lösung wird in der Form \(Z(t,x,u,u_ x)\) explizit konstruiert), und man kann \(w,w_ 1\) in (5) gemäß (3) ausdrücken. Man erhält also schließlich für die zwei Funktionen \(u(t,x)\) und \(u_ x(t,x)\) ein System von zwei algebraischen Gleichungen, aus welchem dann die angestrebten Eindeutigkeitsaussagen in naheliegender Weise abgelesen werden können.
Abschließend sei noch einmal betont, daß unsere Zusammenfassung der vorliegenden Arbeit im Interesse einer möglichst plastischen Herausarbeitung des Grundgedankens natürlich manches vergröbern mußte. Insbesondere mußten wir der Kürze halber auf eine Besprechung der ebenfalls enthaltenen Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen verzichten.
Reviewer: W.Walter

MSC:
35F25 Initial value problems for nonlinear first-order PDEs
35A05 General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)
35A20 Analyticity in context of PDEs
35B60 Continuation and prolongation of solutions to PDEs
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References:
[1] Baoueadi, Ann. Math. 113 pp 341– (1981)
[2] Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the First Order. Part I. Holden-Day, Inc., San Francisco, 1965.
[3] Approximation and Representation of Functions and Distributions Annihilated by a System of Complex Vector Fields, Ec. Polytechnique Palaiseau (france), 1981.
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