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Über eine einparametrige Familie von Mittelwerten. (On a one-parametric family of means). (German) Zbl 0601.26015
Gegenstand dieser Arbeit ist die für positive x und y (mit \(x\neq y)\) definierte Mittelwertfamilie \[ F_ r(x,y):=\frac{r}{r+1}\frac{x^{r+1}-y^{r+1}}{x^ r-y^ r},\quad r\in {\mathbb{R}}-\{0,-1\}, \]
\[ F_ 0(x,y):=\lim _{r\to 0}F_ r(x,y)=\frac{x- y}{\ln x-\ln y},\quad F_{-1}(x,y):=\lim _{r\to -1}F_ r(x,y)=xy\frac{\ln x-\ln y}{x-y}. \] Bei \(F_ r(x,y)\) handelt es sich um einen Spezialfall der im Jahre 1975 von K. B. Stolarsky eingeführten zweiparametrigen Mittelwertfamilie \[ E(r,s;x,y):=[\frac{s}{r}\frac{x^ r-y^ r}{x^ s-y^ s}]^{1/(r-s)}. \] Zu Beginn wird gezeigt, daß \(F_ r(x,y)F_{-r}(x,y)\quad (mit\quad x\neq y)\) bezüglich r in \(R^ +\) streng monoton fällt, und daß \(F_ r(x,y)+F_{-r}(x,y)\quad (mit\quad x\neq y)\) bezüglich r in \(R^ +\) streng monoton steigt.
Mit Hilfe dieser beiden Ergebnisse werden dann die für alle reellen \(r\neq 0\) gültigen Ungleichungen \[ G(x,y)<\sqrt{F_ r(x,y)F_{- r}(x,y)}<L(x,y)<(F_ r(x,y)+F_{-r}(x,y))<A(x,y)\quad (mit\quad x\neq y) \] bewiesen. Dabei bezeichnen \(G(x,y)=F_{-1/2}(x,y)=\sqrt{xy},\) \(L(x,y)=F_ 0(x,y)\) und \(A(x,y)=F_ 1(x,y)=(x+y)/2\) das geometrische, das logarithmische und das arithmetische Mittel von x und y.

MSC:
26D15 Inequalities for sums, series and integrals
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