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Sur un nouveau mémoire de M. Helmholtz. (French) JFM 06.0681.02
In seiner ersten Abhandlung über Electrodynamik (Borchardt LXXII. siehe F. d. M. II. p. 800, JFM 05.0800.01) behandelt Helmholtz die Einwirkung electrischer Ströme auf einander und auf Leiter unter der Vorausetzung, dass alle Leiter sich in Ruhe befinden, so dass also nur die Aenderungen der Stromstärken in Betracht kommen können. Hierbei konnte er das von ihm eingeführte Potential zweier Stromelemente auf einander definiren als Arbeitswerth der in denselben vorhandenen electrischen Ströme, eine Grösse, welche nothwendig existiren und einen gewissen endlichen Werth haben muss, weil die Ströme, sich selbst überlassen, verschwinden und dafür in den Leitern eine äquivalente Wärmemenge erzeugen. Inzwischen ist eine Reihe von Erwiderungen erschienen (F. d. M. IV. 544–548, JFM 04.0544.06 und V. 563, JFM 05.0563.01), welche Folgerungen aus jenem Potentialausdruck ziehen, welche die bewegenden Kräfte (ponderomotorischen Kräfte nach C. Neumann’s Benennung) zweier Stromleiter auf einander betreffen. Diese Folgerungen sollen sich mit bekannten Erfahrungsthatsachen im Widerspruch befinden. Hierdurch hat sich Helmholtz veranlasst gesehen, zu untersuchen, zu welchen ponderomotorischen Kräften der von ihm aufgestellte Potentialausdruck führt.
§15.\(^*\)) [\(^*\) Die Nummern der Paragraphen schliessen sich an die zweite Arbeit des Verfassers (Borchardt J. LXXV.) an.] Um aus dem Potentiale zweier Stromelemente auf einander: \[ -\frac{1}{2} A^2\frac{ij}{r}[(1+k)\cos(ds,d\sigma) + (1-k)\cos(r,ds)\cos(r,d\sigma)] dsd\sigma \] die bewegenden Kräfte ungeschlossener Ströme zu berechnen, muss das für geschlossene Ströme geltende Potentialgesetz hypothetisch auf ungeschlossene Ströme übertragen werden; d. h. es wird angenommen, dass die, bei einer relativen Lagenänderung beider Ströme, welche von constanter Intensität vorausgesetzt werden, geleistete Arbeit gleich ist der Differenz der Potentiale der beiden Ströme auf einander in ihrer Anfangs- und Endlage. Wird diese Lagenänderung als sehr klein angenommen, so ist die Arbeit der Variation des Potentials gleichzusetzen. Hierbei sind \(x,y,z\) und \(\xi,\eta,\zeta,\) die Coordinaten der Stromelemente, willkürlich zu variiren, jedoch stets so, dass keine Discontinuität der Leitung eintritt. Bei Ausführung dieser Rechnung gelangt man zunächst zu Kräften, welche ein Leiter \(\sigma\) von endlicher Länge auf ein Stromelement \(ds\) ausübt. Hierbei erhält man eine Kraft, welche das Element \(ds\) angreift, und ein Kräftepaar, welches auf die Endpunkte von \(ds\) wirkt. Letzteres hat den Factor \(\frac{de}{dt}\), wo \(e\) die freie Electricität an den Enden des Elementes \(ds\) bedeutet. Wenn nämlich an den Endpunkten eines linearen Leiters fortdauernd die Stromintensität \(+i\) besteht, so muss dort eine Anhäufung freier Electricität stattfinden: Letztere kann daher als Function der Zeit angesehen werden. Die eben erwähnten Kräfte lassen sich durch partielle Integration noch weiter transformiren. Man erhält dann die folgenden Ausdrücke:
1) Abstossende Kraft eines Endes von \(\sigma\) auf ein Stromelement \(ds\): \[ -A^2.i\cdot\frac{dr}{dt} \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{dr}{ds} \cdot \] 2) Abstossende Kraft der Stromelemente von \(\sigma\) auf die von \(s\): \[ -\frac{A^2.ij}{r^2} [ 2.\cos(ds,d\sigma) - 3\cos(r,ds). \cos(r,d\sigma)], \] übereinstimmend mit dem Ampère’schen Gesetz.
3) Abstossungen zwischen den Enden der Leitungen: \[ -\frac{1+k}{2}\frac{de}{dt} \cdot{dr}{dt}A^2, \] unabhängig von der Entfernung.
4) Abstossende Kräfte zwischen den inneren Elementen \(\sigma\) und den Enden von \(s\): \[ -A^2. j\frac{de}{dt} \cdot{1}{r}\cdot{dr}{d\sigma}\cdot d\sigma. \] Gegen diese auf die Endpunkte ausgeübten Kräfte hatte J. Bertrand Einwürfe vorgebracht, welche schon früher (siehe oben) auseinandergesetzt worden sind. Derselbe glaubt schliessen zu müssen, dass Kräfte von endlicher Grösse, welche an den Endpunkten eines jeden Stromelements wirken, sich zu Kräften von unendlicher Grösse auf die Endpunkte des Leiters zusammensetzen und dadurch ein Zerreissen desselben bewirken. Helmholtz stellt dieser Ausführung das Beispiel eines Magnetstabes entgegen, welcher in die magnetische Ost-West-Richtung gebracht wird. Trotzdem an jedem Querschnitt des Magnets ein Kräftepaar wirkend gedacht werden kann, setzen sich die sämmtlichen Kräfte nur zu einem Kräftepaar von endlicher Grösse zusammen, ohne den Magnetstab zu zertrümmern. Hiergegen ist die oben citirte Erwiderung Betrand’s gerichtet, in welcher jedoch der Referent keinen neuen Gesichtspunkt zu entdecken vermochte.
\(\S\) 16. Im weiteren Verlauf der Abhandlung von Helmholtz wird die Berechnung der ponderomotorischen Kräfte ausgedehnt auf den Fall electrischer Ströme in körperlichen Leitern. Der Uebergang von den Strömen linearer Leiter zu den letzteren wird dadurch bewirkt, dass man sich die vorhandenen Strömungen aus Stromfäden bestehend denkt, auf welche die Berechnungsweise für lineare Leiter anwendbar ist. Die Componenten aller vorhandenen Ströme auf den Punkt \(x,y,z\) eines körperlichen Leiters, in welchem die Stromcomponenten \(u,v,w\) sind, haben die Form: \[ X=A^2 \left[ v(\frac{\partial V}{\partial x} - \frac{\partial U}{\partial y}) + x(\frac{\partial W}{\partial x} - \frac{\partial U}{\partial z}) + U\frac{de}{dt} \right]. \] \(y\) und \(Z\) sind leicht durch cyclische Vertauschung zu bilden.
Hier ist: \[ \begin{aligned} U & =\int\frac{u'}{r}d\omega' + \frac{1-k}{2} \frac{\partial\psi}{\partial x}\\ V& =\int\frac{v'}{r}d\omega' + \frac{1-k}{2} \frac{\partial\psi}{\partial y} \\ W& =\int\frac{w'}{r}d\omega' + \frac{1-k}{2} \frac{\partial\psi}{\partial z} \\ \varPsi & = \int r\frac{d\epsilon}{dt} d\omega'.\end{aligned} \] In diesen Ausdrücken sind \(u',v',w'\) die Stromcomponenten in dem Punkte \(\xi, \eta, \zeta\) eines Leiters; \(d\omega'\) ist das Volumenelement in demselben Punkt. Die Integration ist über das ganze Leitersystem auszudehnen, \(\varepsilon\) ist die in dem Punkte \(\xi, \eta, \zeta\) frei werdende Electricität, ebenso wie \(e\) diejenige in dem Punkte \(x,y,z\) ist.
\(\S\) 17. Nachdem somit die ponderomotorischen Kräfte für den allgemeinsten Fall eines Systems von Leitern aus dem Potentialgesetz hergeleitet worden sind, konnte der Verfasser auf die im Eingange erwähnten Einwürfe eingehen. Dieselben schliessen folgendermassen: Bei den electrodynamischen Rotationserscheinungen ändert sich das Potantial der festen Ströme auf des bewegliche Stromstück nicht. Folglich dürfte nach dem Potentialgesetz keine Rotation stattfinden. Hierbei ist die Wirkung der festen Ströme auf die Gleitstellen ausser Acht gelassen. Um diesebe nach dem Potentialgesetz zu berechnen, darf die Wirkung auf die Stromfäden, welche in jedem Augenblick den beweglichen und den ruhenden Leiter verbinden, nicht vernachlässigt werden. Hierbei heben sich die an den Enden des beweglichen Leiters und der Zwischenschicht wirkenden Kräfte auf, so dass dann der ganze Stromkreis einfach als geschlossen angesehen werden kann. die Kräfte, welche auf alle Theile desselben wirken, müssen daher dieselben sein, wie diejenigen, welche sich aus dem Ampère’schen Gesetze ergeben.
\(\S\) 18, \(\S\) 19. Nach F. Neumann ist die inducirte electromotorische Kraft in einem bewegten Leiterstück gleich der Aenderung des Potentials aller vorhandenen Ströme in Bezug auf dieses Leiterstück, dasselbe durchflossen gedacht von der Einheit der Stromstärke. Indem der Verfasser hypothetisch diesen Satz auf Leiterelemente überträgt und gleichzeitig auch Aenderungen der Stromintensität bei allen vorhandenen Strömen mit berücksichtigt, erhält er den allgemeinsten Ausdruck für die inducirte electromotorische Kraft. Es wird nachgewiesen, dass derselbe der Gleichung der Erhaltung der energie genügt.
\(\S\) 20. Schliesslich erörtert der Verfasser die Frage, welche Zusätze zu den gefundenen ponderomotorischen Kräften gemacht werden können, ohne das Gesetz der Erhaltung der Energie zu verletzen und ohne die ponderomotorischen Wirkungen geschlossener Ströme auf einander zu verändern. Die hinzuzufügenden Ausdrücke können sechs unbekannte Functionen enthalten, welche alle von der Entfernung \(r\) der Elemente abhängen. Ferner hängen drei derselben ab von \(\frac{dr}{ds}\) und die drei anderen von \(\frac{dr}{d\sigma}\). Einen der einfachsten Ausdrücke liefert immer noch das Potentialgesetz. Doch wird die schliessliche Entscheidung vom Experimente abhängen. Der Verfasser weisst auf verschiedene Classen solcher Versuche hin, doch sind dieselben bis jeztz noch auf experimentelle Schwierigkeiten gestossen.

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