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Applications of determinant theory on the geometry of measure. (Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Masses.) (German) JFM 06.0381.02
Die hier behandelten metrischen Relationen und geometrischen Constructionen, welche dem Herrn Verfasser schon seit längerer Zeit bekannt waren, sind zum grossen Theile bereits auf andere Art von Herrn Darboux entwickelt worden (vgl. dieses Jahrbuch Bd. IV. p. 383; JFM 04.0383.01). Während indessen bei Herrn Darboux die geometrischen Constructionen mit den metrischen Relationen in keiner Verbindung stehen, ist es gerade einer der Hauptzwecke dieser Abhandlung, zu zeigen, wie sich aus wenigen metrischen Beziehungen die Auflösungen complicirter geometrischer Aufgaben mit der grössten Leichtigkeit und Einfachheit ablesen lassen.
Die Abhandlung zerfällt in zwei Theile.
I. Relationen in Systemen von Kreisen, Punkten, und Hauptkreisen auf der Kugel. - Als Ausgangspunkte erscheinen hier folgende Sätze:
Die Determinante, gebildet aus den Cosinus der Winkel \(\varphi _{k\lambda}\), in denen \(n\) Kreise von \(n\) anderen geschnitten werden, verschwindet, wenn \(n>4\) ist, unbedingt; wenn \(n=4\) ist, falls die vier Kreise des einen Systems dasselbe Potenzcentrum haben; wenn \(n=3\) ist, falls sich die Orthogonalkreise der beiden Systeme rechtwinklig schneiden.
Dann wird der Werth der genannten Determinante in den ausgeschlossenen Fällen entwickelt. Bezeichnet man die Radien je eines Tripels von Kreisen mit \(r_k,\; r'_k,\; (k=1,\; 2,\; 3,)\) mit \(R,\; R'\) die Radien ihrer Orthogonalkreise, mit \(m,\; m'\) die Eckensinus des Dreiecks ihrer Mittelpunkte; endlich mit \(r,\; r'\) den Radius je eines vierten Kreises und mit \((Rr),\; (R'r')\) die Winkel desselben mit dem bezüglichen Orthogonalkreise - und setzt \[ \text{sin} \; r_k \; \text{sin} \; r_\lambda' \; \text{cos} \; \varphi_{k,\lambda} = r_{k,\lambda }, \] so folgt \[ \begin{split} (1) \quad \quad \sum \pm r_{11}r_{22}r_{33}r_{44} \\ =-m \; \text{sin} \;r \; \text{tg} \; R \; \text{cos} (rR)\; m'\; \text{sin} r' \; \text{tg} \; R' \; \text{cos} \; (r'R'), \end{split} \] \[ (2) \quad \quad \sum \pm r_{11}r_{22}r_{33} = -m \; \text{tg}\; R'm' \; \text{tg}\; R' \; \text{cos}\; (RR'), \] wobei \((RR')\) den Winkel zwischen beiden Orthogonalkreisen bedeutet.
Durch Polarisation erhält man aus den erwähnten Formeln solche, in denen statt der Winkel \(\varphi _{k,\lambda}\) die gemeinschaftlichen Tangenten je zweier Kreise vorkommen.
Das System aller dieser Formeln zeigt sich äusserst fruchtbar. So reicht die Formel (2) aus zur Lösung der Steiner’schen Aufgabe, einen Kreis zu construiren, der drei gegebene Kreise unter gegebenen Winkel schneidet.
II. Relationen in System von Kugeln, Punkten und Ebenen.
Die Determinante, gebildet aus den Cosinus der Winkel \(\varphi _{k,\lambda}\), in denen \(n\) Kugeln von \(n\) anderen geschnitten werden, verschwindet, wenn \(n>5\) ist, unbedingt; wenn \(n=5\) ist, falls die fünf Kugeln des einen Systemes dasselbe Potenzcentrum haben; wenn \(n=4\) ist, falls sich die Orthogonalkugeln der beiden Systeme rechtwinklig schneiden; wenn \(n=3\) ist, falls die Centralebenen der beiden Systeme auf einander senkrecht stehen. (Der letzte Theil des Satzes ist nicht umkehrbar.)
Bezeichnen \(r_k,\;r_k'\) die Radien je einer Tetrade von Kugeln \((k=1,\; 2,\; 3,\; 4,);\; v,\;v'\) die Volumina der Tetraeder ihrer Mittelpunkte; \(R,\; R'\) die Radien der Orthogonalkugeln der beiden Systeme; endlich \(r,\; r'\) den Radius je einer fünften Kugel und \((rR),\; (r'R')\) die Winkel derselben mit dem bezüglichen Orthogonalkreise; so folgt \[ \sum \pm r_{11}\ldots r_{55} = 36rR \; \text{cos}\; (rR)\; vr'R'\; \text{cos} \; (r'R') \; v'; \] \[ \sum \pm r_{11}\ldots r_{44} = 36vv'\; RR' \; \text{cos}\; (RR'), \] wobei \[ r_k r_\lambda' \; \text{cos} \; \varphi _{k\lambda} \] gesetzt ist. - Ist \(a\) (resp. \(a'\)) der Inhalt des von den Mittelpunkten der drei Kugeln des ersten (resp. zweiten) Systemes gebildeten Dreieckes, \((aa')\) der Winkel der Dreiecks-Ebenen; – ist \(P\) (resp. \(P'\)) der Punkt, in dem die Potenzlinie der drei Kugeln des ersten (resp. zweiten) Systemes von der Centralebene der drei Kugeln des zweiten (resp. ersten) geschnitten wird, \(t\) (resp. \(t'\)) die gemeinschaftliche Potenz des Punktes \(P\) (resp. \(P'\)) in Bezug auf die Kugeln des ersten (resp. zweiten) Systemes und \(d\) das Quadrat der Entfernung der Punkte \(P\) und \(P'\); so hat man \[ \sum \pm r_{11} r_{22} r_{33} = 2 aa' \; \text{cos} \; (aa') \; (d-t-t'). \]
Nun folgen u.A. mehrere Determinanten-Relationen, in denen die gemeinsamen Tangenten je zweier Kugeln aus zwei Systemen von sechs, vier und drei Kugeln vorkommen.
Mit Hülfe dieser Sätze können die Aufgaben gelöst werden: eine Kugel zu finden, die vier gegebene Kugeln unter gegebenen Winkeln schneidet, oder die mit ihnen Tangenten von gegebener Länge gemein hat.
Weiter sind Relationen für ein System von sechs, für ein zweites von fünf Kugeln u. s. f. entwickelt, sowie die zahlreichen und interessanten Folgerungen aus der Formel \[ \left | \begin{matrix} 0 & 1 & \cdots \\ 1 & r_{11} & \cdots & r_{15} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 1 & r_{51} & \cdots & r_{55} \end{matrix} \right | = 0 \] auseinandergesetzt.
Ausser den hier angeführten Resultaten, die wegen ihres allgemeinen Charakters besonders hervortreten, enthält die Abhandlung noch eine Fülle von Material, bezüglich dessen auf sie selbst verwiesen wird.

MSC:
51N20 Euclidean analytic geometry
51M15 Geometric constructions in real or complex geometry
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Full Text: Crelle EuDML