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About transformation groups. (Ueber Gruppen von Transformationen.) (German) JFM 06.0093.01
Man sagt von \(n\) Gleichungen mit \(r\) unbestimmten Constanten \(\alpha_1\cdots\alpha_r\): \[ x_i'=f_i(x_1\cdots x_n \alpha_1\cdots\alpha_r), \] welche an Stellte von \(x_1\cdots x_n\) die Grössen \(x_1'\cdots x_n'\) als neue unabhängige Variable einführen, dass sie eine \(r\)-gliedrige Transformations-Gruppe bilden, wenn die beiden Systeme von Gleichungen \[ x_i'=f_i(x_1\cdots x_n \alpha_1\cdots\alpha_r) \] und \[ x_i''=f_i(x_1'\cdots x_n' \beta_1\cdots\beta_r) \] das folgende nach sich ziehen: \[ x_i''=f_i(x_1\cdots x_n \gamma_1\cdots\gamma_r), \] in welchem die Grössen \(\gamma\) nur von den Parametern \(\alpha\) und \(\beta\) abhängen.
Wenn ferner \(\varphi_1,\cdots\varphi_n\) irgend \(n\) von einander unabhängige Functionen von \(y_1,\cdots y_n\) sind, so wird die Transformations-Gruppe \[ x_i'=f_i(x_1\cdots x_n \alpha_1\cdots\alpha_r) \] ähnlich genannt derjenigen Transformations-Gruppe, deren Gleichungen durch Auflösung der Gleichungen \[ \varphi_i(y_1'\cdots y_n')= f_i(\varphi_1\cdots\varphi_n\alpha_1\cdots\alpha_r) \] nach \(y_1',\cdots y_n'\) hervorgehen.
Indem nun ähnliche Transformationsgruppen als einander äquivalent aufgefasst werden, stellt sich der Verfasser die Aufgebe, alle Transformations-Gruppen zu bestimmen.
Er beginnt mit den Gruppen von Transformationen einer einzigen Variabeln und gelangt hier, indem er nach einander die 1, 2,\(\ldots\) gliedrigen Gruppen untersucht, hauptsächlich durch Betrachtung der infinitesimalen Transformationen, welche diese Gruppen enthalen, zu dem Schlusse, dass es bei einer Variabeln keine mehr als 3-gliedrige Gruppe giebt und dass diese Gruppen entweder der Gruppe aller linearen Transformationen oder einer in dieser enthaltenen Untergruppe ähnlich sind.
Schwieriger wird die Untersuchung für mehrere Variable \(y_n\), wo der Verfasser sogleich auch die Berührungs-Transformationen in den Kreis seiner Betrachtungen hineinzieht, und die Frage folgendermaassen stellt:
Nach einem Satze, der im vorangehenden Referate (JFM 06.0092.01) erwähnt wurde, bestimmt jede in Bezug auf die Differentialquotienten \(p\) homogene Function \(1^{\text{ter}}\) Ordnung von \(x_0\cdots x_n p_0\cdots p_n\) eine gewisse infinitesimale homogene Berührungs-Transformation. Sind nun eine Anzahl \(r\) solcher Transformationen gegeben durch \(r\) homogene Functionen \(H_1,\cdots H_r\), so fragt es sich, wann bringen dieselben durch ihre Succession eine \(r\)-gliedrige Transformations-Gruppe hervor, und wieviel verschiedene Typen solcher Transformations-Gruppen giebt es?
Aus der Fülle von Resultaten, welche in knapper Form die Mittheilung bringt und die sich hauptsächlich auf den Fall \(n=2\) beziehen, können wir hier nur die beiden allgemeinsten und wichtigsten hervorheben:
1) dass, wenn \(r\) infinitesimale homogene Berührungs-Transformationen \(H_1,\cdots H_r\) eine \(r\)-gliedrige Gruppe erzeugen sollen, hierzu nothwendig und hinreichend ist, dass jedes \((H_iH_k)\) eine lineare Function der \(H\) sei;
2) dass das Problem, alle Transformations-Gruppen zu bestimmen, überhaupt lösbar ist.

MSC:
20G15 Linear algebraic groups over arbitrary fields
22D05 General properties and structure of locally compact groups
26B10 Implicit function theorems, Jacobians, transformations with several variables
12E12 Equations in general fields
15A04 Linear transformations, semilinear transformations
53D10 Contact manifolds, general
26B05 Continuity and differentiation questions
22F50 Groups as automorphisms of other structures
40-XX Sequences, series, summability
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