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Quasimöbius maps. (English) Zbl 0593.30022
Es seien X und Y metrische Räume, und es sei \(f: X\to Y\). Es bezeichne \(\tau\) das (mithilfe der Abstände definierte) Doppelverhältnis von 4 Punkten in X sowie \(\tau\) ’ dasjenige der 4 Bildpunkte in Y. Es heißt f quasimöbius (QM), falls (für alle \(\tau)\) \(\tau\) ’\(\leq \theta (\tau)\) gilt, wobei \(\theta\) : [0,\(\infty)\to [0,\infty)\) eine topologische Abbildung ist. Ähnlich bezeichne QS eine quasisymmetrische Abbildung. Daß jede QS Abbildung QM ist, und jede QM Abbildung quasikonform ist, folgt leicht. In dieser Arbeit wird u.a. gezeigt, daß umgekehrt eine QM Abbildung auch QS ist, falls X und Y beschränkt sind, oder (z.B. in \(R^ n)\) die Beziehung f(x)\(\to \infty\) für \(x\to \infty\) gilt. Des weiteren folgt auch, daß gewisse (lokale) Zusammenhangseigenschaften invariant bleiben unter QM Abbildungen. Schließlich ergibt sich noch, daß für gewisse geeignete Gebiete G in \(R^ n\) (wie für \(G=R^ n)\) jede quasikonforme Abbildung auch QM ist.
Reviewer: H.Renggli

MSC:
30C62 Quasiconformal mappings in the complex plane
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