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Persistance d’intersection avec la section nulle au cours d’une isotopie hamiltonienne dans un fibré cotangent. (French) Zbl 0592.58023
Soit M une variété compacte sans bord, \(\phi_ t\) une isotopie hamiltonienne de \(T^*M\) \(t\in [0,1]\). Pour t petit on a évidemment #(\(\phi\) \({}_ t(M)\cap M)\geq C(M)\) (resp. \(C_ g(M)\) si l’intersection est transversale) où C(M) (resp. \(C_ g(M))\) est le nombre minimum de points critiques des fonctions (resp. de Morse) sur M.
Le problème résolu dans l’article est celui de la persistance d’intersections pour t grand: #(\(\phi\) \({}_ 1(M)\cap M)\geq \tilde C(M)\) (resp. \(\tilde C_ g(M)\) si l’intersection est transversale) où \(\tilde C(\)M) (resp. \(\tilde C_ g(M))\) est le nombre minimum de points critiques des fonctions (resp. de Morse) sur les 2N-fibrés en boules sur M et coïncidant au voisinage du bord avec une forme quadratique sur les fibres de signature (N,N).
La démonstration repose d’une part sur l’idée originale de Conley et Zehnder (ramenant le calcul de #(\(\phi\) \({}_ 1(M)\cap M)\) au calcul du nombre de points critiques d’une fonctionnelle) perfectionné par Chaperon: Par une méthode du type ”géodésique brisées” le problème variationnel est ramené en dimension finie: #(\(\phi\) \({}_ 1(M)\cap M)=Crit S\) ensemble des points critiques d’une fonction S sur un fibré en boules E contenu dans la puissance fibrée N-ième \(E_ 0\) de \(TM\otimes_ MT^*M\). N est évidemment lié au rayon d’injectivité d’une métrique riemannienne auxiliaire sur M.
L’essentiel de l’article est alors consacré à une mise en oeuvre de la méthode variationnelle de Moser: si \(S_ 0\) est la forme quadratique standard de type (N,N) sur \(E_ 0\), les auteurs construisent une interpolation \(S_ u\) (u\(\in [0,1])\) de \(S_ 0\) à \(S_ 1=S\), puis, par une série de majorations ils prouvent que, quitte à augmenter le nombre N de pas, on peut toujours construire, un fibré en boule \(V\subset E\) et une isotopie de plongements de V dans E \(\psi_ u\) (u\(\in [0,1])\) telle que sur un voisinage de \(\partial V\) dans \(E_ 0\), \(\psi^*\!_ uS_ u=S_ 0\) (et une S comme il est écrit). Le théorème résulte alors de ce que #(\(\phi\) \({}_ 1(M)\cap M)=Crit S=Crit \psi^*\!_ 1S\geq \tilde C(M).\)
Si \(M=T^ n\), Chaperon avait prouvé que #(\(\phi\) \({}_ 1(M)\cap M)\geq C(M)\). L’extension à M compacte quelconque de la conjecture d’Arnold est alors ramenée à la comparaison, purement topologique, de C(M) et \(\tilde C(\)M). Notons que si \(\pi_ 1M=0\) et si M est de dimension 6 au moins \(C_ g(M)=_ g(M)^{\sim}\).
Reviewer: P.Dazord

MSC:
37J99 Dynamical aspects of finite-dimensional Hamiltonian and Lagrangian systems
57R52 Isotopy in differential topology
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
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