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Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. (German) Zbl 0577.46001
Hochschultext. Berlin etc.: Springer-Verlag. IX, 292 S. DM 34.00 (1985).
”Dieses Lehrbuch behandelt den Grundkanon der linearen Funktionalanalysis, so wie er in vielen Teilgebieten der Mathematik und auch in der Physik benötigt wird. Dieser Kanon umfaßt einmal die Einführung von Banach- und Hilberträumen, die Eigenschaften von konvexen und kompakten Teilmengen sowie Aussagen über schwache Konvergenz. Zum anderen werden die wichtigsten Klassen von Operatoren behandelt: Funktionale, Projektionen, kompakte Operatoren. Das Buch schließt mit der Spektraltheorie kompakter Operatoren.
In der Darstellung wird die algebraische Seite der Funktionalanalysis mit gleichem Gewicht belegt wie die analytische. Abstrakte Theorie wird stets im Zusammenhang mit konkreten Anwendungen gesehen. Die Gliederung der einzelnen Abschnitte ermöglicht es dem Leser, schnell zu den zentralen Aussagen vorzustoßen. Außerdem enthält das Buch viele Übungen (die meisten mit Lösung) und vier Anhänge, die dem Leser Hintergrundwissen vermitteln.” Soweit der Klappentext.
Als weitere Information möchte der Ref. folgendes beisteuern: Der Anteil an abstrakter Funktionalanalysis beträgt etwa ein viertel; es wird also nur das Allernotwendigste geboten, so z.B. keine schwache bzw. \(schwache^*\) Topologie, insbesondere keine Diskussion der entsprechenden Kompaktheitsbegriffe. Ein knappes fünftel des Umfangs macht eine funktionalanalytisch orientierte Einführung in die Integrationstheorie aus. Der größte Teil des Buches ist eine in dem gesteckten Rahmen recht weit gehende Einführung in die Theorie der Sobolev-Räume. Hinzu kommen noch Beispiele von Integraloperatoren (Hilbert-Schmidt, singuläre) und als Abschluß die Anwendung der Theorie auf die Behandlung der Wellengleichung. Durch das detailierte Inhaltsverzeichnis und die übersichtliche graphische Gestaltung des Textes kann sich der Leser in der Fülle des Gebotenen gut orientieren. Diejenigen Teile des Buches, die den ”Kanon” behandeln, sind durchweg sorfältig ausgearbeitet. In den anwendungsorientierten Teilen und auch im integrationstheoretischen Teil werden an Kritikfähigkeit und Selbständigkeit des Lesers höhere Ansprüche gestellt, denn hier ist die Darstellung manchmal etwas skizzenhaft, ohne daß ausdrücklich darauf hingewiesen wird.
(Korrigenda: Bei der in 2.4. angegebenen Definition der Äquivalenz von Metriken bleibt, entgegen dem in 2.4. behaupteten, die Vollständigkeit beim Übergang zu einer äquivalenten Metrik nicht erhalten. Oft wird die Bezeichnung ”präkompakt” benützt, wo man ”relativ kompakt” erwarten sollte; dies führt zu falschen Aussagen in Ü. 2.12. und 3.10. Die ”Warnung” in 5.2. suggeriert falsche Vermutungen, ebenso die Bemerkung am Ende von 7.3.)
Reviewer: H.Pfister

MSC:
46-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to functional analysis
47-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to operator theory
28-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to measure and integration
35-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to partial differential equations
46B03 Isomorphic theory (including renorming) of Banach spaces
46C05 Hilbert and pre-Hilbert spaces: geometry and topology (including spaces with semidefinite inner product)
45P05 Integral operators
35L05 Wave equation