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On convergence of Roe’s scheme for the general nonlinear scalar wave equation. (English) Zbl 0565.65047
Zur numerischen Lösung des Cauchy-Problems für die Erhaltungsgleichung: \(u_ t+f(u)_ x=0\) wurde von P. L. Roe [Some contributions to the modelling of discontinuous flow, Proc. AMS/SIAM Seminar, San Diego (1983)] ein explizites Differenzenverfahren 2. Ordnung vorgeschlagen, das bemerkenswert gute numerische Resultate liefert. Diesem Verfahren ist die vorliegende Arbeit gewidmet. Zunächst wird nach Formulierung der Problemstellung das Verfahren von Roe definiert; es ergibt sich durch Addition eines upwinding-Verfahrens 1. Ordnung mit einem sogenannten ”antidiffusiven” Differenzenoperator. Es ist von 2. Ordnung konsistent und enthält als Spezialfälle - je nach Verhalten der Charakteristiken - die klassischen Verfahren von Lax-Wendroff und Warming-Beam, zwischen denen es gewissermaßen rangiert. Andererseits besitzt das Verfahren im Gegensatz zu Lax-Wendroff und Warming-Beam die folgenden starken Eigenschaften: 1. Es ist monoton, d.h. jeder Lösungswert zum neuen Zeitschritt ist eingeschlossen zwischen Infimum und Supremum der 3 Nachbarwerte zum alten Zeitschritt. 2. Es ist TVD, d.h. die totale Variation der Lösung wird beim nächsten Zeitschritt nicht erhöht. Diese beiden Eigenschaften sind es auch, die sich als Haupthilfsmittel erweisen bei der anschließenden Durchführung des Konvergenzbeweises: Für \(\Delta\) x, \(\Delta\) \(t\to 0\) und unter Beachtung der CFL-Bedingung konvergiert die Lösung des Roe-Schemas gegen eine schwache Lösung des Ausgangsproblems. Schließlich wird noch die Entropie-Bedingung diskutiert: Bekanntlich existieren nichtphysikalische (d.h. Entropie-verletzende) schwache Lösungen, und in gewissen Fällen kann auch das Verfahren von Roe gegen eine solche konvergieren. Jedoch läßt sich durch eine geeignete Modifikation des Schemas auch dieser Umstand beheben [Erster Verf., Dissertation (1982)].
Reviewer: F.v.Finckenstein

MSC:
65M06 Finite difference methods for initial value and initial-boundary value problems involving PDEs
65M12 Stability and convergence of numerical methods for initial value and initial-boundary value problems involving PDEs
35L65 Hyperbolic conservation laws
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Full Text: DOI
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