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The nonregular analogue of Tchebotarev’s theorem. (English) Zbl 0551.12009
Sei K ein Funktionenkörper einer Variablen mit Konstantenkörper \(k={\mathbb{F}}_ q\), sei L eine Galoiserweiterung von K mit der endlichen Galoisgruppe G und \({\mathfrak C}\) eine Konjugiertenklasse in G mit der Mächtigkeit c. Das Ziel der Arbeit ist es, die Mächtigkeit der Menge \(C_{\ell}(K)\), die aus den Primdivisoren \({\mathfrak p}\) von K besteht, die den Grad \(\ell\) (\(\ell \in {\mathbb{N}})\) haben, die in L unverzweigt sind und für die das Artinsymbol \((\frac{L/K}{{\mathfrak p}})={\mathfrak C}\) ist, zu bestimmen. Die Komplikation dabei - gegenüber dem üblichen Dichtigkeitssatz von Tchebotarev - wird durch die Nichtregularität von L/k verursacht: Der algebraische Abschluß \(\hat k\) von k in L kann ungleich k sein. Folgendes Ergebnis wird bewiesen: Sei \(\tau\in {\mathfrak C}\) und m so, daß \(\tau |_{\hat k}=F^ m,\) wo F der Frobeniusautomorphismus von k ist. Dann ist \(C_{\ell}(K)=\emptyset\) für \(\ell \not\equiv m mod [\hat k:k]\) und sonst \(\#C_{\ell}(K)=c/\ell \cdot \frac{[\hat k:k]}{[L:K]}\cdot q^{\ell}+O(q^{\epsilon \cdot \ell})\) mit \(\epsilon >1/2.\)
Es wird weiter in der Arbeit angedeutet, wie dieses Ergebnis auf die explizite Version von Hilberts Irreduzibilitätssatz [s. Verf., J. Number Theory 6, 211-231 (1974; Zbl 0299.12002)] angewendet werden kann.
Reviewer: G.Frey

MSC:
11R45 Density theorems
11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
11R09 Polynomials (irreducibility, etc.)
12F99 Field extensions
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