×

zbMATH — the first resource for mathematics

On effective measures of irrationality for \(\root r\of {a/b}\) and related numbers. (English) Zbl 0516.10024
Les auteurs donnent de nouvelles mesures d’irrationalité effectives de certaines nombres algébriques du type \(\alpha=(a/b)^{1/r}\), c’est-à-dire des constantes \(\mu=\mu(\alpha)\) telles que pour tout \(\varepsilon> 0\) on puisse calculer \(c(\alpha,\varepsilon) >0\) avec \(| \alpha-p/q|> cq^{-\mu-\varepsilon}\) pour tous \(p,q>1\). Les constantes \(\mu\) obtenues représentent une amélioration importante par rapport aux résultats précédemment connus. Les techniques utilisées sont inspirées de celles de l’article du premier auteur [Acta Math. 148, 255–296 (1982; Zbl 0505.10015)]. Le théorème essentiel d’approximation est le suivant.
Solt \(k\) un corps de nombres et \(v\) une valeur absolue sur \(k\). \(\eta\) est un nombre de Salem de \(k\) par rapport à \(v\) si \(|\eta|_v>1\) et \(|\eta|_w\leq 1\) pour toute valeur absolue \(w\) de \(K\) différente de \(v\). On se donne \(r\geq 3\) entier tel que \(v\nmid r\) et \(\xi=1 +\eta'/\eta\) où \(\eta'\) et \(\eta\) sont deux nombres de Salem de \(k\) par rapport à \(v\) tels que \(| \xi-1|_v <1\). On note \(|\cdot|_v\), la normalisation sur \(k\) d’une valeur absolue \(\tilde v\) étendant \(v\) à \(K=k(\root r\of {\xi})\) et on suppose que \([K:k] =r\) et que les complétés \(k_v\) et \(K_{\tilde v}\) sont égaux. On note \(h\) la hauteur de Weil absolue (On remarque que \(h(\eta) =|\eta|_v)\). On obtient alors le résultat suivant sur l’approximation des éléments \(\alpha\) de \(K\) de degré \(r\) sur \(k\) par les éléments de \(k\): si \(\lambda= \log h(\eta')/\log h(\eta)\) alors
\[ \mu= \frac 2{1-\lambda}+\frac{2{\root 3\of 9} r^{5/3} (2 + \log r)^{1/3}}{(\log h(\eta))^{1/3}} \] est une mesure effective d’irrationalité de \(\alpha\); i.e. pour tout \(\beta\) de \(k\) et tout \(\varepsilon>0\)
\[ | \alpha-\beta|_v> c_1(\alpha,\varepsilon) h(\beta)^{-\mu-\varepsilon} \] où la constante \(c_1(\alpha,\varepsilon)\) est effectivement calculable. Ceci représente dans beaucoup de cas une amélioration sensible de la borne de Liouville qui donne
\[ | \alpha-\beta|_v> (2h(\alpha)h(\beta))^{-r}. \] Par exemple \(\mu=2,67\) est une mesure effective d’irrationalité de \(((m^4 +m+1)/(m^4 +7))^{1/2}\) si \(m> m_0(r)\) alors que les techniques utilisant les approximants donnent \(\mu = 3 + O(1/\log m)\).
Reviewer: Georges Rhin

MSC:
11J82 Measures of irrationality and of transcendence
11J17 Approximation by numbers from a fixed field
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Crelle EuDML