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Introduction to cyclotomic fields. (English) Zbl 0484.12001
Graduate Texts in Mathematics. 83. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag. xi, 389 p. DM 96.00; $ 42.70 (1982).
Ce livre porte bien son titre. Il développe en effect les fondements de la théorie des corps cyclotomiques: étude du théorème de Fermat, résultats de Kummer, théorème de Stickelberger, unités cyclotomiques. Il donne ensuite les développements les plus récents: théorie d’Iwasawa, dualité de Leopoldt, théorème de Mazur-Wiles. Par ailleurs il applique à la situation étudiée les majorations d’Odlyzko sur les discriminants; il rappelle aussi le théorème de Kronecker-Weber.
Le chapitre I démontre le ”théorème” de Fermat pour les nombres premiers réguliers dans le ”premier cas”.
Le chapitre II rappelle des résultats de base: discriminants et anneaux d’entiers des corps cyclotomiques.
Le chapitre III définit les caractères de Dirichlet et leurs conducteurs.
Le chapitre IV rappelle la théorie des fonctions \(L\) pour les caractères de Dirichlet: équation fonctionnelle, valeurs aux entiers négatifs, formules du nombre de classes (on renvoie aux livres de Hasse et Borevich-Shafarevich pour la démonstration de celles-ci).
Le chapitre V définit les fonctions \(L\) \(p\)-adiques de façon très directe (comme dans un article de l’A.), retrouve les congruences de Kummer entre nombres de Bernoulli, calcule la valeur en 1 des fonctions \(L\) \(p\)-adiques. Il discute la conjecture de Leopoldt en s’appuyant sur le théorème de Brumer qui est admis. Ce chapitre s’achève par la formule \(p\)-adique du nombre de classes.
Le chapitre VI factorise les sommes de Gauss et en déduit le théorème de Stickelberger, en tire le théorème de Herbrand et cite la réciproque de Ribet. Le chapitre se termine par le calcul de l’indice de l’idéal de Stickelberger avec comparison au groupe des classes d’idéaux des corps cyclotomiques; il renforce enfin le résultat du chapitre I.
Le chapitre VII fait le lien entre les deux chapitres précédents en indiquant comment Iwasawa a construit les fonctions \(L\) \(p\)-adiques au moyen de l’idéal de Stickelberger. Ceci permet d’écrire la valuation \(p\)-adique de nombre de classes de \(\mathbb Q\left(\zeta_{p^nm}\right)\), \(m\) fixé, sous la forme \(\mu p^n + \lambda n + \nu\) avec des constantes \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) dans \(\mathbb Z\), puis de montrer qu’on a en fait \(\mu = 0\) (théorème de l’A. obtenu en collaboration avec Ferrero).
Le chapitre VIII étudie les corps réels et leurs nombres de classes au moyen des unités cyclotomiques, prouve la formule \(p\)-adique du nombre de classes et discute la conjecture de Vandiver.
Le chapitre IX termine la démonstration du théorème de Kummer: le ”théorème” de Fermat est vrai pour les nombres premiers réguliers.
Le chapitre X donne différents résultats: relation entre les nombres de classes de \(\mathbb Q(\zeta_p)\) et \(\mathbb Q(\zeta_{p^n})\), entre ceux de \(\mathbb Q(\zeta_{p^n})\) et de son sous-corps réel et démontre le théorème de Mazur-Wiles dans le cas facile (mais important sur le plan historique) où la conjecture de Vandiver est vérifiée.
Le chapitre XI applique les méthodes de Masley, Montgomery et Odlyzko en déterminant tous les corps cyclotomiques principaux.
Le chapitre XII reprend certains résultats avec le langage des distributions et des mesures. La fonction \(L\) \(p\)-adique est mise sous forme intégrale.
Le chapitre XIII expose en 50 pages la théorie d’Iwasawa des \(\mathbb Z_p\)-extensions. Le §1 rappelle quelques résultats de la théorie du corps de classes; le §2 donne le théorème de structure des \(\mathbb Z_p[[T]]\)-modules; le §3 mets la valuation \(p\)-adique du nombre de classes à l’étage \(n\) d’une \(\mathbb Z_p)\)-extension sous la forme \(\mu p^n + \lambda n + \nu\). Le §4 donne diverses applications en discutant le condition \(\mu=0\). Le §5 étudie l’extension maximale non ramifiée en dehors de \(p\) au moyen de la théorie de Kummer. Le §6 étudie la conjecture principale: elle énonce le théorème de Mazur-Wiles en réinterprétant le polynôme caractéristique en terme d’idéal de Fitting; le §7 étudie des dérivées logarithmiques. Le §8 (local units modulo cyclotomic units) applique le §7 à la détermination d’un module galoisien cher au rapporteur.
Le chapitre XIV démontre le théorème de Kronecker-Weber: toute extension abélienne \(\mathbb Q\) est contenue dans un corps cyclotomique.
Un appendice résume sans démonstration les théories des limites projectives, des groupes de Galois et leurs sous groupes de ramification et les théories du corps de classes local et global.
Ce livre me semble appelé à devenir la référence classique sur les corps cyclotomiques. Il est de plus muni de nombres exercises, de tables numériques intéressantes ainsi que d’une très importante bibliographie. Il devrait donc se révéler un guide précieux pour qui veut aborder la théorie des corps cyclotomiques.

MSC:
11R18 Cyclotomic extensions
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11R23 Iwasawa theory
11R37 Class field theory
11R42 Zeta functions and \(L\)-functions of number fields
11R27 Units and factorization
11R29 Class numbers, class groups, discriminants