×

Del moto geometrico di un solido che ruzzola sopra un altro solido. (Italian) JFM 04.0439.03

Die Arbeit besteht in einer neuen Herleitung von Resultaten, zu welchen Thomson und Tait bei der Untersuchung der Bewegung zweier einander berührender Körper in ihrem Werke: “Treatise on natural philosophy, Oxford 1867” gelangt sind. Es handelt sich um die Relation \[ (9) \quad w_0^2 + \left( w_2 - \frac{1}{R_1} \right) \; \left( w_2 -\frac{1}{R_2} \right) =0 \] zwischen den Componenten der momentanen Rotationsgeschwindigkeit des orthogonalen Systems bestehend aus der Tangente der Berührungscurve, der Flächennormale und der geodätischen Normale, \(w_0\) bezüglich auf die erste, \(w_2\) auf die letzte, und zwischen den Hauptkrümmungsradien \(R_1, R_2\). Der Aufsatz beginnt mit der Betrachtung einer beliebigen Curve, ausgehend auf die Bestimmung der momentanen Rotation eines orthogonalen Axensystems, welches mit dem begleitenden Axensystem, d. i. der Tangente, Hauptnormale und Binormale, die erste gemein hat, und um einen variablen Winkel \(\psi\) um dieselbe gedreht ist. Da dieses \(\psi\) einfach additiv oder subtractiv zum Torsionswinkel hinzutritt, so hätte das Resultat unmittelbar zutage gelegen, wenn der Verfasser nicht im Anschluss an die curventheoretischen Formeln von Serret (er führt als Autor dieser unzweckmässigen Anordnung Frenet an, ohne über Serret’s Antheil an der Aufstellung zu entscheiden) den Torsionsradius statt des Torsionswinkels eingeführt hätte. Doch ist der gewonnene Ausdruck bedeutungslos für die weitere Untersuchung, wo nunmehr jede Curve als die Bahn des Berührungspunktes zweier auf einander folgender (bezw. auch gleitender) Flächen oder Körper betrachtet wird. Die momentane Rotation des genannten Axensystems wird nicht aus ihm, sondern direct aus den Richtungscosinus der Axen nach bekannten Formeln berechnet. So ergiebt sich: \[ w_2 =e\quad \left( \frac{ \partial u}{ \partial s} \right)^2 +2f \frac{ \partial u}{\partial s} \frac{ \partial v}{ \partial s} +g \quad \left( \frac{ \partial v}{ \partial s} \right)^2, \]
\[ Hw_0= G_1 \; \left( \frac{ \partial u}{ \partial s} \right)^2 -F_1 \frac{\partial u}{ \partial s} \frac{ \partial v}{ \partial s} +E_1 \; \left( \frac{ \partial v}{ \partial s} \right)^2, \] während der Ausdruck von \(w_1\), Componente nach der Normale, weil er die zweiten Ableitungen von \(u\) und \(v\) enthält, nicht in Anwendung kommt. Die Bedeutung der Coefficienten ist daraus deutlich, dass \(w_2\) die Krümmung des die Curve \(s\) berührenden Normalschnitts darstellt, und \(w_0\) für Krümmungslinien \(s\) verschwindet, während \(u, v\) beliebige Flächenparameter bezeichnen. Als dritte Gleichung kommt der Ausdruck von \( \partial s^2\) hinzu: \[ 1= E \left( \frac{ \partial u}{ \partial s} \right)^2 +2F \frac{ \partial u}{ \partial s} \frac{ \partial v}{ \partial s} +G \left( \frac{ \partial v}{ \partial s} \right)^2. \] Dann ergiebt sich durch Elimination von \(\frac{ \partial u}{ \partial s}, \frac{ \partial v}{ \partial s}\) eine Relation zwischen \(w_0, w_2\) und den Coefficienten. Beachtet man, dass identisch \[ (Ew_2 -e) (Gw_2 -g) - (Fw_2 -f)^2 +H^2 w_0^2 =0 \] wird, wenn man den Ausdruck mittelst der dritten Gleichung homogen macht, so ergiebt sich daraus gemäss der bekannten Werthe der Summe und des Products der Hauptkrümmungen die Formel (9). Weil diese nicht über das Vorzeichen von \(w_0\) entscheidet, so zieht der Verfasser ihre Zerlegung in \[ w_2 = \frac{ \cos^2 \vartheta}{ R_1} +\frac{ \sin^2 \vartheta}{ R_2}; \; w_0 =\sin \vartheta \cos \vartheta \left( \frac{1}{R_2} -\frac{1}{R_1} \right) \] vor, und vereinigt beide Gleichungen wieder zu \[ \frac{ \cos \vartheta \cos \varTheta}{ R_1} + \frac{ \sin \vartheta \sin \varTheta}{ R_2} =w_2 \cos (\vartheta -\varTheta) -w_0 \sin (\vartheta -\varTheta), \] wo \(\varTheta\) willkürlich ist und sich zur Vermittelung der Beziehungen zwischen den beiden einander berührenden Flächen verwenden lässt, indem man die \(\varTheta\) für beide Flächen von den respectiven Hauptkrümmungstangenten bis zu einer beliebigen gemeinsamen Tangente, die \(\vartheta\) gleichfalls von erstern bis zur Tangente der Rollbahn rechnet. Folgende Resultate hebt der Verfasser hervor. Zwischen der momentanen Richtung der Rollbahn und der der momentanen Rotationsaxe findet Reciprocität statt. Die Paare (demgemäss) cinematisch conjugirter Richtungen bilden eine quadratische Involution. Es ist die unterscheidende Eigenschaft der Doppelradien der Involution, dass sie den Normalschnitten gleicher Krümmung auf der einen und andern Fläche entsprechen. Es existirt ein, und im allgemeinen nur ein Paar von Richtungen, welche im obigen cinematischen und zugleich im bekannten Dupin’schen Sinne conjugirt sind. Im erstern Sinne existirt immer ein orthogonales Paar.
Zum Verständniss ist zu beachten, dass durch Druckversehen dieselben Zeichen \(E, F, G\) zweierlei bedeuten. Ihre zweite Bedeutung haben sie zur Rechten der den Gl. (8) vorhergehenden Gleichungen, durch welche sie definirt sind, ferner in der ersten Gl. (8) und der dritten Gleichung des darauf folgenden Systems.
PDFBibTeX XMLCite