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Ueber Abbildung eines Kreisbogenzweiecks. (German) JFM 04.0424.03

Nachdem die durch Gleichung \(u+ vi = \text{tg} (p + qi)\) bestimmte Abbildung discutirt ist, wird gezeigt, dass das Innere \((w)\) eines Kreisbogenzweiecks auf das Innere eines Kreises \(z\) abgebildet wird durch die Gleichung: \[ w= \text{tg} \left( \frac{p_0 +p_1}{2} +2 \frac{ p_0 -P-1}{\pi} \text{ arctg\,} z \right). \] Die imaginäre \(y\)-Axe verbindet die Ecken des Zweiecks und wird von der \(x\)-Axe halbirt, die Hälfte der zwischen den Ecken gelegenen \(y\)-Axe ist als Einheit angesehen, die Treffpunkte der Bogen auf der \(x\)-Axe sind vom Coordinatenanfang um \(\text{tg\,} p_0\) und \(\text{tg\,} p_1\) entfernt \(( \text{tg\,} p_1 < \text{tg\,} p_0) \), die Winkel \(p_1\) und \(p_0\) zwischen \(-\frac{ \pi}{2}\) und \(+ \frac{ \pi}{2}\) gewählt. Für \(p_1=0\) erhält man die Abbildung eines Segmentes, für \(p_1= - \tfrac{1}{2} \pi\) bildet Function \(w\) eine Halbebene, der ein Kreissegment angefügt ist, auf den Kreis ab; ist \(p_1= - \frac{\pi}{2}, p_0 =0,\) so wird die einfache Halbebene auf den Kreis abgebildet, und es wird \(w= \frac{z-1}{ z+1},\) wie schon Schwarz (Borchardt J. LXX. 112, siehe F. d. M. II. p. 626, JFM 02.0626.01 und JFM 02.0626.02) angegeben hat.
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