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Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphères dans le plan et dans l’espace. (French) JFM 04.0383.01
Die relativ umfangreiche Literatur, welche seit Euler und Lagrange über das Tetraeder entstanden ist, (vgl. Baltzer, Determinanten, §§15-17), hat eine Fülle von eleganten Sätzen und Relationen zu Tage gefördert. Diese sowie die auf Kugeln und Kreise bezüglichen Relationen leitet nun der Verfasser aus einer gemeinsamen Quelle ab, indem er die Beziehungen, welche zwischen den In- und Covarianten einer quadratischen bezw. bilinearen Form und einer durch lineare Transformation aus dieser abgeleiteten Form bestehen, aufstellt und geometrisch deutet.
Seine Untersuchungen zerfallen in 3 Abschnitte.
1. Theil. Die Gleichung der einem Tetraeder umschriebenen Kugel lässt sich, unter Zugrundelegung desselben als Coordinatentetraeder, auf die einfache Form bringen: \[ (1) \qquad - \varSigma d_{ij} \mu_i \mu_j =0, \quad i, j =1, 2, 3, 4, \] wenn man unter \(\mu_1 \cdots \mu_4\) barycentrische Coordinaten (nach der Bezeichnung von Möbius, vergl. auch Baltzer, Determinanten, 3. Aufl. p. 197, Note) und unter \(d_{ij}\) die Quadrate der Kantenlägen versteht. Bezieht man andererseits die Kugel (Radius \(R\)) auf ein rechtwinkliges Coordinatensystem mit dem Mittelpunkt als Ursprung, so erhält man (wenn durch \(T\) homogen gemacht wird): \[ (2) \qquad X^2 + Y^2 + Z^2 - R^2 T^2 =0, \] wo nun die \(X, \cdots T\) mit den \(\mu\) durch lineare Gleichungen, welche die Coordinaten der 4 Eckpunkte als Coefficienten enthalten, verbunden sind. Die Invarianten etc. der Formen (1) und (2) unterscheiden sich dann nur noch um eine Potenz der Transformationsdeterminante. Jede der hieraus entspringenden Relationen, geometrisch gedeutet, liefert einen Satz. Bildet man z. B. die Hesse’sche Determinante der beiden Formen, so erhält man den bekannten Ausdruck für das Quadrat des Proluctes aus Tetraedervolumen und Radius der umschriebenen Kugel durch die Kantenlängen; durch zweimaliges Rändern der Hesse’schen Determinante entsteht eine zugehörige Form (Contravariante), vermöge deren sich die auf die Seitenflächen und die cosinus der eingeschlossenen Winkel bezüglichen Relationen darstellen lassen, u. s. w. Der Verfasser wird bei diesem Anlass auf das auch schon von Anderen betrachtete Dreieck geführt, dessen Seiten aus dem Product der gegenüberliegenden Kanten des Tetraeders gebildet sind, und beweist mit Hülfe desselben die Umkehrung des Ptolemäischen Lehrsatzes über das ebene (reelle) Viereck, indem er jenes Dreieck auf eine gerade Linie, das Tetraeder auf ein ebenes Viereck sich zusammenziehen lässt.
Aus diesen Sätzen über die Eckpunkte eines Tetraeders lassen sich solche über Kreise in einer Ebene ableiten, wenn man sich einer von Chasles und Cayley eingeführten (imaginären) Abbildung der Punkte des Raumes auf Kreise in einer Ebene bedient, welche darin besteht, dass man einem reellen Kreise mit dem Halbmesser \(R\) diejenigen beiden imaginären Punkte des Raumes (der Verfasser nennt sie “Brennpunkte” des Kreises) zuordnet, welche man erhält, indem man senkrecht zur Ebene nach beiden Seiten vom Mittelpunkt des Kreises aus die Länge \(R \cdot \sqrt{-1}\) aufträgt (Cayley, Démonstration du théorème de M. Casey, Brioschi Ann. (2) I. 132-134, siehe F. d. M. I. p. 180, JFM 01.0180.03). Chasles [Géométr. supér., Liouville J. (2) V.] hatte sich umgekehrt der Abbildung imaginärer Kreise auf reelle Punkte des Raumes bedient. Der Länge der gemeinsamen (äusseren oder inneren) Tangente zweier Kreise entspricht alsdann der Abstand der (auf derselben oder auf entgegengesetzter Seite der Ebene liegenden) Brennpunkte der Kreise. Dieses fruchtbare Princip lässt sich auch auf Kugeln ausdehnen, welchen alsdann die Punkte eines Raumes von 4 Dimensionen zuzuordnen sind.
2. Theil. Der Gleichung (1) kann man noch eine andere wichtige Bedeutung beilegen. Haben 2 Kugeln von den Radien \(R_i\) und \(R_j\) den Mittelpunkts-Abstand \(d_{ij}\), und bezeichnet man mit \(k_{ij}\) die folgende als “gemeinsame Potenz der beiden Kugeln” bezeichnete Grösse: \[ k_{ij} = d_{ij}^2 -R_i^2 -R_j^2, \] so ist: \[ (3) \qquad \tfrac{1}{2} \varSigma - k_{ij} \mu_i \mu_j \equiv X^2 + Y^2 + Z^2 - R^2 T^2 =0, \] die Gleichung einer Kugel, welche 4 Kugeln, deren Mittelpunkte in den Eckpunkten des Tetraeders der barycentrischen Coordinaten \(\mu\) liegen, orthogonal schneidet (sphère radicale). Bildet man wiederum die In- und Covarianten der beiden quadratischen Formen (3), welche durch lineare Transformation in einander überfüyhrbar sind, so erhält man auf dem oben bezeichneten Wege interessante und theilweise neue Sätze und Relationen.
Aehnlich ergeben sich durch Betrachtung von bilinearen Formen Sätze über zwei einander zugeordnete Gruppen von Tetraedern bezw. je 4 Kugeln. Der Verfasser geht dabei von der Identität aus: \[ (4) \qquad \tfrac{1}{2} \varSigma - k_{ij} \mu_i \mu_j' \equiv XX' + YY' + ZZ' + \frac{H}{2}\,TT', \] wo die \(k\) die gemeinsamen Potenzen wechselweise der Kugeln der beiden Gruppen, \(H\) die gemeinsame Potenz der Orthogonal-Kugeln je der einen und der anderen Gruppe sind, und bildet hierfür die invarianten Formen. Das Verschwinden der Grundform (4) drückt die Bedingung aus, dass zwei Kugeln mit den Mittelpunkten \(\mu\) und \(\mu'\), welche je zu den Orthogonalkugeln der einen und der anderen Gruppe orthogonal sind, sich auch gegenseitig orthogonal schneiden.
Diese Betrachtungen werden endlich noch auf Gruppen von einer beliebig grossen Anzahl von Kugeln ausgedehnt, und u. A. die Bedingung für die gemeinsamen Potenzen von 5 Kugeln aufgestellt, die von einer sechsten orthogonal geschnitten werden können.
Der dritte Theil beschäftigt sich zunächst mit der constructiven Lösung des von Steiner gestellten Problems: Einen Kreis zu finden, der drei gegebene Kreise unter gegebenen Winkeln schneidet. Nachdem der Verfasser eine Lösung der Aufgabe mitgetheilt, welche das Imaginäre hinzuzieht, giebt er die constructive Lösung in der Ebene unter Benutzung bloss reeller Elemente, indem er sich auf eine Betrachtung über diejenigen Schaaren von Kreisen stützt, deren Brennpunkte (siehe oben) auf einer Geraden, einem Kreis im Raum, einer Kugel angeordnet sind.
Leichter zeigt sich die constructive Lösung der Aufgabe: 4 Kreise sollen von einem fünften unter gleichen Winkeln geschnitten werden. Diese Probleme werden sodann auch analytisch behandelt und auf Kugeln ausgedehnt.
Zum Schluss stellt der Verfasser eine Relation zwischen den Potenzen eines Punktes in Bezug auf 5 Kugeln und deren gemeinsamen Potenzen auf, welche mit Untersuchungen desselben über die Darstellung der Punkte eines dreifach ausgedehnten Raumes durch 5 homogene Coordinaten, zwischen denen eine quadratische Relation existirt, in Verbindung steht.

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Full Text: Numdam EuDML