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Sieve methods. (English) Zbl 0298.10026
London Mathematical Society Monographs. 4. London-New York San Francisco: Academic Press, a subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers. xiii, 364 p., Erratum slip 2 p., £9.80; $ 26.00 (1974).
Nach den kurzen, verschiedenen Siebmethoden gewidmeten Kapiteln in den Büchern von E. Landau [Über einige neuere Fortschritte der additiven Zahlentheorie. London: Cambridge University Press (1937; Zbl 0016.20201)], K. Prachar [Primzahlverteilung. Berlin etc.: Springer-Verlag (1957; Zbl 0080.25901)] und H. Halberstam und K. F. Roth [Sequences. Vol. I. Oxford: At the Clarendon Press (1966; Zbl 0141.04405)] stellt die vorliegende Monographie das erste umfassende Lehrbuch der “kleinen” Siebe, d.h. des Brunschen und Selbergschen Siebes dar [das “Große Sieb” wird in dem vorliegenden Buch nicht behandelt].
Das Buch, von zwei Mathematikern geschrieben, die durch eine Reihe tiefer Arbeiten zur Brunschen und Selbergschen Siebmethode mit dem Gegenstand bestens vertraut sind, gibt den gegenwärtigen Stand der Forschung wieder; die gut lesbare Darstellung mit präzise formulierten, einfach anwendbaren Sätzen erleichtert sowohl den Zugang zu den Siebmethoden als auch die Anwendung der Siebmethoden auf vorgegebene (zahlentheoretische) Probleme. Zudem wird ein ausführliches Literaturverzeichnis gegeben.
Das Buch behandelt das Sieb des Eratosthenes, das Brunsche Sieb, die oberen und unteren Abschätzungen, die mit der Selbergschen Siebmethode erzielbar sind, Verschärfungen dieser Abschätzungen, besonders im Falle des linearen Siebes, und es gipfelt in einem Beweis des Satzes von Chen, daß jede hinreichend große gerade natürliche Zahl als Summe einer Primzahl und einer Fastprimzahl mit höchstens zwei Primfaktoren darstellbar ist.
Im einzelnen befassen sich die elf Kapitel des Buches mit folgenden Gegenständen: Im ersten Kapitel werden die wichtigsten Bezeichnungen eingeführt, Problemstellung und Beispiele werden diskutiert, und das Sieb des Eratosthenes wird behandelt. Das zweite Kapitel gibt eine neue, einfachere Darstellung der Brunschen Siebmethode, die bis zu allgemein anwendbaren Sätzen ausgearbeitet wird; als Spezialfall erhält man das sogenannte ,,Fundamental Lemma”.
Im dritten Kapitel werden die einfachsten oberen Abschätzungen der Selbergschen Siebmethode behandelt. Als Anwendung erhält man gute obere Abschätzungen für \(\displaystyle\sum_{n\le x,\ (n,k)=1} 1\), für die Anzahl der Primzahlen in arithmetischen Progressionen (Verschärfung des Satzes von Brun-Titchmarsh), für die Anzahl der Primzahlzwillinge und für die Anzahl der Lösungen des Goldbaohproblems. Im vierten Kapitel werden entsprechende Abschätzungen unter schwächeren Voraussetzungen bewiesen, die besonders dann interessant sind, wenn gewisse Fehlerglieder nicht direkt, sondern nur ,,im Mittel” gut abgeschätzt werden können.
Im fünften Kapitel werden genauere obere Abschätzungen hergeleitet (Theorem 5.1 und 5.2), die besonders gut für Anwendungen geeignet sind; eine Fülle solcher Anwendungen wird gegeben (u.a. etwa auf Primzahlen in Polynomfolgen). Das nächste Kapitel, das sich nochmals mit oberen Abschätzungen befaßt, führt die Funktionen \(\sigma_\kappa\) ein als Lösung einer Differential-Differenzen-Gleichung und bereitet die ersten unteren Abschätzungen vor.
Im siebenten Kapitel werden zunächst kombinatorische Identitäten behandelt, und es wird eine neue Form des ,,Fundamentallemmas” bewiesen. Sodann werden erste untere Abschätzungen [Theorem 7.3, 7.4 – man beachte, daß in Theorem. 7.4, Formel (6.2) statt \(\le\) das Zeichen \(\ge\) stehen muß] für die Anzahlfunktion
\[ S(\mathfrak A, \mathfrak P,z) = \vert\{a\in\mathfrak A,\ (a, \prod_{p<z,\ p\in\mathfrak P} p) = 1 \}\vert \]
hergeleitet.
Im achten Kapitel werden mit Hilfe umfangreicher kombinatorischer Identitäten verschärfte obere und untere Abschätzungen für \(S(\mathfrak A, \mathfrak P,z)\) hergeleitet im (wichtigen) Spezialfall des linearen Siebes – hier ist der ,,Dimension des Siebes” genannte Parameter gleich 1. Dieses Kapitel schließt sich an eine Arbeit von W. B. Jurkat und H.-E. Richert [Acta Airth. 11, 217–240 (1965; Zbl. 128, 269)] an.
Im neunten Kapitel wird gezeigt, wie (im linearen Fall) die Einführung von Gewichtsfunktionen eine Verschärfung der Ergebnisse ermöglicht; die Ergebnisse werden angewandt auf das Goldbachproblem, auf das Problem der Primzahlzwillinge und auf Probleme mit Fastprimzahlen in ,,kurzen” Intervallen und in Polynomfolgen. Im folgenden Kapitel wird die Einführung von Gewichtsfunktionen auch im nichtlinearen Fall behandelt, die Ergebnisse werden wiederum angewandt, um Sätze über Fastprimzahlen in Polynomfolgen zu gewinnen.
Das letzte Kapitel schließlich stellt einen Höhepunkt der Siebtheorie dar: Es wird ein ausführlicher Beweis des schon früher erwähnten Chenschen Satzes gegeben, der die derzeit beste Approximation an eine Lösung des Goldbachproblems darstellt.
Die Fülle der behandelten Probleme und der erreichten Ergebnisse machen diesen Band zu einem Handbuch der Siebtheorie, das für jeden Vertreter der analytischen Zahlentheorie unentbehrlich sein dürfte.

MSC:
11N35 Sieves
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11A41 Primes
11N37 Asymptotic results on arithmetic functions
11P32 Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes
11N05 Distribution of primes
11N13 Primes in congruence classes