×

zbMATH — the first resource for mathematics

Stability theory of dynamical systems. (English) Zbl 0213.10904
Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Bd. 161. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. xi, 225 p. (1970).
Den Verff. ist es ausgezeichnet gelungen, in einer leicht verständlichen und oft sehr anschaulichen Weise klassische und neuere Ergebnisse sowie Entwicklungstendenzen auf dem Gebiet der Theorie dynamischer Systeme in metrischen Räumen darzulegen. Dabei erfährt die Stabilitätstheorie sowie ihre Anwendung auf autonome Differentialgleichungen eine besondere Betonung. Verff. bemerken ausdrücklich, daß es nicht ihr Ziel war, eine umfassende Darlegung der Theorie dynamischer Systeme zu geben (so wurden z.B. die Theorie der strukturellen Stabilität, die Ergodentheorie und die allgemeine Theorie von topologischen Transformationsgruppen nicht betrachtet); vielmehr wurde ein Lehrbuch geschaffen, das aufbauend auf den grundlegenden Kenntnissen über gewöhnliche Differentialgleichungen und metrische Räume eine systematische Darlegung der Elemente der Theorie dynamischer Systeme gibt. Zahlreiche Abbildungen, Beispiele und Übungsaufgaben tragen wesentlich zu einem besseren Verständnis und einer aktiven Aneignung des Stoffes bei. Eine ausführliche Bibliografie am Ende des Buches – sie umfaßt 36 Seiten und reicht bis zum Jahre 1969 – sowie die Bemerkungen und Literaturhinweise nach jedem Kapitel lassen dieses Buch darüber hinaus zu einer wertvollen Hilfe für alle an der Forschung Beteiligten werden.
Im einzelnen behandelt das Buch folgende Probleme:
Kap. I ist der Definition eines dynamischen Systems gewidmet, wobei anhand zahlreicher Beispiele die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten der Theorie dynamischer Systeme demonstriert werden. Kap. II behandelt die Invarianten gewisser topologischer Transformationen dynamischer Systeme; in Kap. III werden im wesentlichen Minimalmengen und deren Struktur betrachtet. Kap. IV enthält die Untersuchung dispersiver und parallelisierbarer dynamischer Systeme.
In Kap. V wird das Hauptanliegen des Buches dargestellt: die Stabilitätstheorie (im wesentlichen handelt es sich um orbitale Stabilität) und die attraction-Theorie (eine entsprechende deutsche Bezeichnung, wie z.B. Anziehungstheorie, ist dem Ref. nicht geläufig), die auf dem Begriff des schwachen “attractors” beruht. Die Theorie der verschiedenen Stabilitätsarten sowie ihre Charakterisierung durch Lyapunovsche Funktionen wird hautpsächlich für kompakte Mengen in lokal kompakten Phasenräumen bzw. abgeschlossenen Mengen dargelegt.
Das kurze Kap. VI ist der Klassifikation des Verhaltens dynamischer Systeme in der Umgebung einer kompakten invarianten Menge gewidmet. In Kap. VII wird die von T. Ura entwickelte Theorie der höheren Prolongationen dargelegt und auf Probleme der absoluten Stabilität und verallgemeinerten Rekurrenz angewendet. Kap. VIII enthält die geometrische Stabilitätstheorie. Das abschließende Kap. IX ist der Charakterisierung von Stabilitäts- und attraction-Begriffen durch nichtstetige Lyapunovsche Funktionen gewidmet.

MSC:
37-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to dynamical systems and ergodic theory
34-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to ordinary differential equations
37C75 Stability theory for smooth dynamical systems
34Dxx Stability theory for ordinary differential equations