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Motion of a Rotating Body in a Fluid. (Ueber die Bewegung eines Rotationskörpers in einer Flüssigkeit.) (German) JFM 02.0731.01
Herr K. entwickelt zunächst aus dem Hamilton’schen Princip die Differentialgleichungen für die Bewegung eines starren Körpers von beliebiger Gestalt und beliebig vertheilter Masse in einer incompressiblen homogenen Flüssigkeit. Die Bedingungen bei Aufstellung der Differentialgleichungen sind folgende: Die Flüssigkeit, in der keine Reibung stattfindet, wird durch eine im Unendlichen liegende, geschlossene, feste Fläche begrenzt; Wirbelbewegungen sind nicht vorhanden, (so dass nach Helmholtz ein Geschwindigkeitspotential existirt.) Die Geschwindigkeiten ändern sich überall stetig mit den Coordinaten. Auf den Körper wirken Kräfte, die ein Potential haben, auf die Flüssigkeit wirken keine Kräfte. Die Bewegung des ganzen Systems ist aus dem Ruhezustande dadurch hervorgegangen, dass auf den Körper Kräfte wirkten. Die unter diesen Bedingungen aufgestellten Differentialgleichungen, ursprünglich 18 mit 12 Bedingungsgleichungen, werden nun durch die Annahme vereinfacht, dass die Kräfte, die auf den Körper wirken, verschwinden. Für die vereinfachten Differentialgleichungen ergeben sich dann 7 Integralgleichungen. Eine weitere Vereinfachung tritt ferner durch die Annahme ein, dass die Oberfläche des Körpers eine Rotationsfläche und die Vertheilung in ihm symmetrisch zur Rotationsaxe ist. (Letztere Vereinfachung tritt auch ein, wenn der Körper kein Rotationskörper, sondern wenn er nur in Bezug auf zwei oder mehr Paare auf einander senkrechter Ebenen, die durch die Axe gehen, symmetrisch ist.) Nach Einführung der letzten Bedingungen ist es nun möglich, die Gleichungen vollständig zu integriren. Es ergiebt sich die Zeit als elliptisches Integral erster Gattung, in dem die Integrationsvariable die Geschwindigkeit \(u\) (parallel der Rotationsaxe) des Anfangspunktes des im Körper festen Coordinatensystems ist. Man kann daher diese Geschwindigkeit als elliptische Function der Zeit darstellen; auch die übringen Unbekannten des Problemes kann man als elliptische Integrale durch \(u\) ausdrücken.
Für einege Specialfälle lassen sich sämmtliche Unbekannte des Problems leicht als elliptische Functionen der Zeit ausdrücken. Einer dieser Fälle, der hier genauer discutirt wird, ist bereits von Thompson und Tait [Th. u. T. Handbuch der theoretischen Physik, deutsch von Helmholtz und Wertheim, Seite 297, (Seite 264 der englischen Ausgabe)] behandelt; für diesen Fall muss man noch die weiteren Annahmen machen, dass der Körper um seine Axe nicht rotirt und dieselbe in einer festen Ebene bleibt. – Erwähnt mag noch werden, dass sich schon ohne die vereinfachenden Voraussetzungen über die Gestalt des Körpers und die Vertheilung der Masse in ihm aus den Differentialgleichungen beweisen lässt, dass es für jeden Körper 3 und im Allgemeinen nur 3 auf einander senkrechte Richtungen giebt, in denen er, ohne sich zu drehen, in der Flüssigkeit fortschreiten kann.

MSC:
76-XX Fluid mechanics
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Full Text: DOI Crelle EuDML