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Ueber biternäre Formen mit contragredienten Variabeln. (German) JFM 02.0062.01
Seien \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) Punkt-, \(u_{1}, u_{2}, u_{3}\) Linien-Coordinaten; \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\) symbolische Coefficienten, welche den ersten, \(a_{1}, a_{2}, a_{3}\) solche, welche den zweiten cogredient sind; setzt man ferner \[ p_{q}=p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}, \] so ist der allgemeinste Ausdruck der zu behandelnden Formen \(\alpha^m_x u^n_x\). Jede dem Formenkreise von \(f\) angehörige Gestalt kann als symbolisches Produkt folgender 8 Typen dargestellt werden \((abu)\), \((abc)\), \((\alpha\beta x)\), \((\alpha \beta \gamma)\), \(u_x\), \(u_{\alpha}\), \(a_x\), \(a_{\alpha}\).
Der erste Theil der Abhandlung ist dem der eben besprochenen durchaus parallel laufend, nur dass die Beweise durch die vermehrte Zahl der Typen eine etwas andere Gestalt annehmen. Für \(m=1\), \(n=1\) also \(f=a_x +u_\alpha\) enthält das vollständige System 7 Formen; diese sind \(i=a_{\alpha}\), \(f=a_{x}u_{\alpha}\), \(i_{1}=a_{\beta}b_{\alpha}\), \(f_{1}=a_{x}u_{\beta}b_{\alpha}\), \(i_{2}=a_{\beta}b_{\gamma}c_{\alpha}\), \(\varphi=a_{x}c_{x}b_{\alpha}(\beta \gamma x)\), \(\psi=u_{\beta}u_{\gamma}b_{\alpha}(acu)\). An Stelle der Invarianten \(i_{1}\), \(i_{2}\) und der Zwischenform \(f_{1}\) werden andere Ausdrücke eingeführt \[ i'=\frac{i^2-i_1}{2},\quad i''=\frac{i^3-3ii_1+2i_2}{6},\quad g=f_1-if + \frac{i^2-i_1}{2}\,u_x \] und mit Hülfe derselben das entsprechende Formensystem für die zusammengestzte Function \(F=\kappa u_{x}+\lambda f+\mu g\) aufgestellt. Zwischen den 7 obigen Formen und \(u_{x}\) besteht eine einzige höhere Relation, enthalten in dem Satze, dass \(\varphi .\psi\) die Determinante, in Bezug auf \(\kappa, \lambda, \mu\) gebildet, einer quadratischen Form ist. Setzt man \[ \Omega = \sum \frac{\partial^2 \varphi \cdot \psi}{\partial \chi_h \partial u_h},\quad \Omega' = \sum\frac {\partial^2 \Omega}{\partial \chi_h \partial u_h},\quad \Omega'' =\sum \frac{\partial^2 \Omega'}{\partial \chi_h \partial u_h}, \] so ist ähnlich \(\varphi . \psi +\frac {\varepsilon}{1} \Omega +\frac {\varepsilon^2}{1.2} \Omega' +\frac {\varepsilon^3}{1.2.3} \Omega''\) die Hesse’sche Determinante, nach \(\kappa\), \(\lambda\), \(\mu\) gebildet, der quadratischen Form \[ 2[p(f+i \varepsilon) +q(g+i' \varepsilon) +r(u_{x}+3 \varepsilon)]. \] \(\Omega''\) ist \(=-6R\), wo \(R\) die Determinante einer cubischen Gleichung \(\varDelta=0\) ist; \(\Omega'\) ist \(=-2Ru_{x}\). Nach Betrachtung des Formensystems der cubischen Formen \(\varphi\), \(\psi\) beschäftigt sich die Abhandlung mit der geometrischen Deutung der Form \(f(m=1, n=1).\) Wird \(u\) als Veränderliche Betrachtet, so stellt \(f=0\) einen Punkt \(y\) dar, der mit dem Punkte \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) collinear verwandt ist. Man kann im allgemeinen \(f\) durch lineare Transformation in die Form \(f=e_1 X_1 U_1 +e_2 X_2 U_2 +e_3 X_3 U_3\) bringen, während \(u_{x}\) im \(U_{X}\) übergeht. Die Gleichung \(F=0\) stellt die Gesammtheit aller collinearen Systeme mit gemeinsamem Fundamentaldreieck dar. Geht man nun von einem Punkte \(x\) zu \(y\), betrachtet dann \(y\) als dem ersten Systeme angehörig und bestimmt den entsprechenden \(z\), u.s.w., so liegen \(x, y, z, \dots\,\) auf einer transcendenten Curve. Es wird nun untersucht unter welcher Bedingung \(\frac{(m+1)(m+2)}{2}\) dieser Punkte auf einer algebraischen Curve liegen; dieselbe ergiebt sich als eine gewisse Invariantenbeziehung. Umgekehrt werden dann auch solche Invarianten-Relationen geometrisch in der angegebenen Weise gedeutet. – Zum Schluss werden die Ausnahmefälle angegeben, welche dadurch entstehen, dass von den Wurzeln der cubischen Gleichung \(\varDelta=0,2\) oder \(3\) einander gleich werden.

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