Un théorème d’existence pour les approximations diophantiennes. (French) Zbl 0177.07201

Jarník, Vojtěch

Enseign. Math., II. Sér. 15, 171-175 (1969).

Es sei \(\varphi(x)>0\) für \(x\ge A\). Wir sagen, daß eine Matrix (1) \(\Theta= (\theta_{ij})\) \(i= 1,\ldots,m; j=1,\ldots,n)\) mit reellen \(\theta_{ij}\) die Approximation \(\varphi\) zuläßt, wenn die Ungleichungen
\[ \vert \theta_{1i}x_1 + \ldots + \theta_{1n}x_n - y_i\vert < \varphi(x)\quad (i=1,\ldots,m), \ x=\max(\vert x_1\vert, \ldots, \vert x_n\vert >0 \]
unendlich viele Lösungen in ganzen \(x_j\), \(y_i\) haben.
Satz A. Es sei \(\varepsilon>0\); \(\varphi(x)\), \(\lambda(x)\) seien stetig, positiv und monoton für \(x\ge A\ge 1\). Die Funktionen
\[ \varphi(x)\cdot x^{1/k}\quad (k=1,\ldots,m),\quad \varphi(x)\cdot x^{1+\varepsilon}, \quad \varphi(x) \cdot x^{(n-1)/n} \] seien monoton, \(\lambda(x)\to 0\) für \(x\to +\infty\) und \(\int_A^{+\infty} x^{n-1}(\varphi(x))^n\,dx\) sei konvergent. Dann gibt es eine Matrix (1), welche zwar die Approximation \(\varphi(x)\), nicht aber die Approximation \(\varphi(x)\lambda(x)\) zuläßt; dabei kann man noch erreichen, daß die mit \(mn+1\) Zahlen \(1,\theta_{ij}\) linear unabhängig über dem Körper der rationalen Zahlen sind.
Der Satz war bekannt für \(n=1\); sein Beweis ist recht kompliziert [K. Černý, Czech. Math. J. 2, 191–220 (1952; Zbl 0052.28103)]. Hier wird gezeigt, daß der Fall \(n>1\) leicht aus dem Fall \(n=1\) folgt. Ist \(x\varphi(x)\to 0\), so gilt ein schärferer Satz (Satz B), der im Unterschied zu Satz A leicht beweisbar ist.

Reviewer: Vojtěch Jarník

MSC:

11J25

Diophantine inequalities

Keywords:

existence theorem; diophantine approximation; diophantine inequality