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Pseudocomplemented semilattices. (Pseudokomplementäre Halbverbände.) (German) Zbl 0164.00701
Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist, einige Ergebnisse über distributive bzw. pseudokomplementäre oder ganz speziell über Stonesche Verbände auf \((\cup\)-) Halbverbände zu verallgemeinern. Erfüllt eine Teilmenge \(J\) eines Halbverbandes \(S\) die Bedingung \(a\cup b\in J \leftrightarrow a,b\in J\), so nennt man \(J\) ein Ideal von \(S\). Die Gesamtheit \(I_0(S)\) der Ideale \(J\) eines Halbverbandes \(S\) ist ein vollständiger und kompakt erzeugter Verband mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung. Für einen nach unten gerichteten Halbverband \(S\) bezeichnet \(I(S)\) den Teilverband aller nicht leeren Ideale von \(S\). Schließlich bezeichne \(L(S)\) den kleinsten Teilverband von \(L_0(S)\), der alle Hauptideale \((a) = \{x\in S; x\le a, a\in S\) enthält.
In der Arbeit wird bewiesen, daß für einen Halbverband \(S\) die folgenden Bedingungen äquivalent sind:
(1) Für Elemente \(x,y,t \in S\) folgt aus \(t\le x\cup y\), \(t\not\le x\) und \(t\not\le y\) die Existenz von Elementen \(x_1, y_1\in S\) derart, daß \(x_1\le x\), \(y_1\le y\) und \(x_1\cup y_1 = t\) gilt;
(2) \(I_0(S)\) (bzw. \(I(S)\)) ist distributiv; (3) \(L(S)\) ist distributiv.
Ein Halbverband, der eine der drei Bedingungen erfüllt, heißt distributiv.
Ist \(S\) ein distributiver Halbverband und sind \(J_1\cup J_2\) sowie \(J_1\cap J_2\) mit \(J_1, J_2\in I_0(S)\) Hauptideale, dann sind auch \(J_1\) und \(J_2\) Hauptideale. Ferner kann man den Stoneschen Charakterisierungssatz distributiver Verbände entsprechend für distributive Halbverbände beweisen.
Im zweiten Teil der Arbeit wird der Begriff des relativen Pseudokomplements in einer halbgeordneten Menge eingeführt, so daß im Fall eines \(\cap\)-Halbverbandes der übliche Begriff des relativen Pseudokomplements mit dem eingeführten übereinstimmt. Eine halbgeordnete Menge \(T\) mit Nullelement heißt pseudokomplementär, falls zu jedem Element \(a\in T\) das relative Pseudokomplement \(a_*0\) in \(T\) existiert; die Elemente \(a_+0\) (kürzer \(a^*\)) heißen Pseudokomplemente. \(B(T)\) bezeichnet ferner die halbgeordnete Menge \(\{x\in T; x^{**} = x\}\). In der Arbeit werden die pseudokomplementären Halbverbände untersucht.
Als Hauptergebnis kann man den folgenden Satz erwähnen, der den wesentlichen Teil des Satzes von Glivenko über die distributiven pseudokomplementären Verbände verallgemeinert: Für einen pseudokomplementären Halbverband \(S\) bildet \(B(S)\) einen Booleschen Verband (Sätze 3 und 4). Ein analoges Resultat hat O. Frink [Duke Math. J. 29, 505–514 (1962; Zbl 0114.01602)] für die pseudokomplementären \(\cap\)-Halbverbände bewiesen.
An Beispielen wird auf einige Tatsachen hingewiesen, die im Gegensatz zu Verbänden für Halbverbände nicht gelten müssen:
(1) In einem distributiven pseudokomplementären Halbverband kann man ein Element nicht immer als untere Schranke eines abgeschlossenen und eines dichten Elementes darstellen.
(2) Ein relativ pseudokomplementärer Halbverband braucht nicht distributiv zu sein. Dazu ist zu bemerken, wie aus der Arbeit von E. T. Schmidt [Mat. Čas., Slovensk. Akad. Vied 18, 3–20 (1968; Zbl 0155.35102)] folgt, daß ein dual relativ pseudokomplementärer Halbverband distributiv ist.
Der dritte Teil der Arbeit beschränkt sich auf die Stoneschen Halbverbände, d.h. die distributiven pseudokomplementären Halbverbände, in denen noch die Bedingung: \(a^*\cup a^{**}= I\) \((I\) bezeichnet das größte Element) zutrifft. Die Stoneschen Halbverbände kann man auf zwei Weisen kennzeichnen (in beiden Fällen setzt man einen distributiven pseudokomplementären Halbverband \(S\) voraus):
(1) Der Boolesche Verband \(B(S)\) bildet einen Teilverband des Halbverbandes \(S\) (für die Stoneschen Verbände siehe Frink (loc. cit.);
(2) die Verbindung von je zwei verschiedenen minimalen schwachen Primidealen von \(S\) ist gleich \(S\), wobei ein Ideal \(P\) schwaches Primideal genannt wird, wenn für \(J_1,\ldots,J_n\in I_0(S)\) aus \(\emptyset \ne J_1\cap\cdots\cap J_n\subseteq (t]\subseteq P\) folgt \(J_i\subseteq P\) für ein \(i\in (1,\ldots,n)\).
Die Bedingung (2) stimmt für Verbände mit der von G. Grätzer und E. T. Schmidt [Acta Math. Acad. Sci. Hung. 8, 455–460 (1957; Zbl 0079.04503)] entdeckten Bedingung überein.
Im letzten Teil der Arbeit werden die beschränkten Halbverbände \(S\) gekennzeichnet, für die der Idealverband \(I(S)\) ein Stonescher Verband ist.
Nach Erscheinen der Arbeit hat der Verf. einige Ergebnisse der Arbeit auf (distributive, pseudokomplementäre, Stonesche und verallgemeinerte Stonesche) halbgeordnete Mengen verallgemeinert.
Reviewer: Tibor Katriňák

MSC:
06A12 Semilattices
06D15 Pseudocomplemented lattices
PDF BibTeX Cite
Full Text: EuDML
References:
[1] Birkhoff G.: Lattice theory. New York 1948 · Zbl 0033.10103
[2] Birkhoff G., Frink O.: Representation of lattices by sets. Trans. Amer. Math. Soc. 2 (1948), 299-316. · Zbl 0032.00504
[3] Frink O.: Pseudo-complements in semi-lattices. Duke Math. J. 29 (1962), 505-514. · Zbl 0114.01602
[4] Grätzer G., Schmidt E. T.: On a problem of M. H. Stone. Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 8 (1957), 455-460. · Zbl 0079.04503
[5] Grätzer G., Schmidt E. T.: On ideal theory for lattices. Acta Sci. Math. (Szeged) 19 (1958), 82-92. · Zbl 0092.26802
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