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Fundamental polygons for Fuchsian groups. (English) Zbl 0152.27802
In der Theorie der automorphen Funktionen einer komplexen Variablen ist es wichtig, für die zu betrachtenden Gruppen möglichst einfache Fundamentalbereiche zu finden. Zu einer Hauptkreisgruppe \(\Gamma\) mit Hauptkreis \(H\) (ohne Beschränkung der Allgemeinheit der Einheitskreis) nimmt man meistens einen (in \(H\)) einfach zusammenhängenden Fundamentalbereich \(F\), dessen Rand aus nichteuklidischen Polygonzügen besteht und verlangt, daß sich die Ecken dieser Polygonzüge in \(H\) nirgends häufen, daß jedes Kompaktum in \(H\) nur von endlich vielen Bildern von \(F\) unter \(\Gamma\) getroffen wird und daß zu jeder Seite \(\sigma\) von \(F\) eine von der Identität verschiedene Transformation \(L_\sigma\) von \(\Gamma\) gehört, die diese Seite in eine zu ihr kongruente Seite von \(F\) transformiert. Gibt es einen Fundamentalbereich \(F\) zu \(\Gamma\) mit nur endlich vielen Seiten, so hat \(\Gamma\) ein endliches Erzeugendensystem. Hat \(\Gamma\) umgekehrt ein endliches Erzeugendensystem, so gibt es zwar Fundamentalbereiche mit nur endlich vielen Seiten, aber es hat natürlich nicht jeder Fundamentalbereich diese Eigenschaft. Verf. nennt einen Fundamentalbereich einfach, wenn zu verschiedenen Seiten \(\sigma\), \(\tau\), auch verschiedene Transformationen \(L_\sigma\) und \(L_\tau\) aus \(\Gamma\) gehören. Er zeigt, daß ein einfacher Fundamentalbereich einer endlich erzeugten Hauptkreisgruppe \(\Gamma\) nur endlich viele Seiten hat. Der Beweis ist elementar.

MSC:
30F35 Fuchsian groups and automorphic functions (aspects of compact Riemann surfaces and uniformization)
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References:
[1] W. Fenchel and J. Nielsen, Discontinuous groups of non-Euclidean motions (to appear). · Zbl 0034.38101
[2] L. Ford, Automorphic functions, Chelsea, New York. · JFM 55.0810.04
[3] M. Heins, Fundamental polygons of Fuchsian and Fuchsoid groups,Ann. Acad. Scient. Fenn., Series A (1964), pp. 1–30. · Zbl 0126.09901
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