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Gruppentheoretische Kennzeichnungen der endlichen desarguesschen Ebenen. (German) Zbl 0132.40702
Es werden endliche desarguessche projektive Ebenen folgendermaßen gekennzeichnet: Besitzt die projektive Ebene \(\mathfrak E\) der Ordnung \(n\) eine Kollineationsgruppe \(\varphi\) der Ordnung \(o(\varphi)>n^2\), die ein inzidentes Punkt-Geradenpaar festläßt und von ihren abelschen Untergruppen der Ordnung \(n^2\) überdeckt wird, so ist \(\mathfrak E\) desarguessch und \(\varphi\) ist eine \(p\)-Sylowgruppe der kleinen projektiven Gruppe \(\mathrm{PSL}(3,n)\) von \(\mathfrak E\).
Aus der obigen Behauptung ergibt sich als Folgerung, daß eine projektive Ebene der Primzahlpotenzordnung \(q\) genau dann desarguessch ist, wenn sie eine zur \(p\)-Sylowgruppe von \(\mathrm{PSL}(3,n)\) isomorphe Kollineationsgruppe besitzt.
Als Hilfsmittel zum Beweis der obigen Resultate werden die folgenden Sätze hergeleitet:
(1) Eine endliche Kollineationsgruppe einer beliebigen (nicht notwendig endlichen) projektive Ebene operiert auf wenigstens einer ihrer Punkt- und Geradenbahnen treu.
(2) Es sei \(\mathfrak E\) eine projektive Ebene endlicher Ordnung \(n\) und \(\gamma\) eine auf den Punkten und Geraden quasiregulär (d.h. auf jeder ihrer Punkt- und Geradenbahnen regulär) operierende Kollineationsgruppe der Ordnung \(n^2\). Dann gibt es in \(\mathfrak E\) ein unter \(\gamma\) festbleibendes inzidentes Punkt-Geradenpaar \((F,f)\) derart, daß \(\gamma\) einen Normalteiler \(\pi\) der Ordnung \(n\) enthält, der nur aus \((F,f)\)-Elationen besteht. Ferner ist \(\gamma\) sogar \((F,F)\)-oder \((f,f)\)-transitiv oder hat \(\gamma\) drei Punktbahnen: \(\{F\}\), \(\{X\notin f\}\), \(\{F\neq X\in f\}\) und drei Geradenbahnen: \(\{f\}\), \(\{x\not\ni F\}\), \(\{f\neq x\ni F\}\).
Für den Beweis der Hauptsätze werden Betrachtungen über taktische Zerlegungen der Ebene benutzt. Der Verf. beweist den Satz: Die projektive Ebene der Ordnung \(n\) besitze eine taktische Zerlegung mit einer Punktklasse \(\mathfrak P\) derart, daß \(|\mathfrak P|=n^2\geq |\mathfrak x|\) für alle Geradenklassen \(|\mathfrak x|\) gilt und daß die Anzahl der Geraden aus einer Geradenklasse \(\mathfrak x\), die durch einen Punkt von \(\mathfrak P\) gehen, höchstens 1 ist, falls \(|\mathfrak x|<n^2\). Dann existiert eine Gerade \(f\) derart, daß \(\mathfrak P\) genau aus den Punkten der Ebene, die nicht inzident mit \(f\) sind, besteht. Ferner gilt entweder (I) Jeder Punkt auf \(f\) bildet eine Punktklasse für sich; oder (II) es gibt einen Punkt \(F\in f\) derart, daß die Zerlegung genau drei Punktklassen (\(\{F\}; \{X\not\in f\}; \{F\neq X\in f\}\)) und genau drei Geradenklassen (\(\{f\}; \{x\not\ni F\}; \{f\neq x\ni F\}\)) besitzt.
Reviewer: J. Cofman

MSC:
20H15 Other geometric groups, including crystallographic groups
51A30 Desarguesian and Pappian geometries
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References:
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