×

zbMATH — the first resource for mathematics

Fundamental polygons of Fuchsian and Fuchsoid groups. (English) Zbl 0126.09901
C. L. Siegel [Ann. Math. (2) 46, 708–718 (1945; Zbl 0061.04505); Ausgewählte Fragen der Funktionentheorie. Teil II, Vorlesung Göttingen (1954) (hrsg. von E. Gottschling)] a établi qu’un polygone fondamental de Poincaré d’un groupe \(\Gamma\) ayant une aire hyperbolique finie a un nombre fini de côtés, non situés sur \(\vert z\vert = 1\), et que le groupe de Möbius \(\Theta\) correspondant est de première espèce. L’A. généralise ce résultat pour le cas d’un polygone fondamental convexe non-euclidien arbitraire et aussi pour des groupes \(\Theta\) de seconde espèce vérifiant une certaine “condition A”.
La paire \((F, d)\), formée par une surface de Riemann \(F\) et une fonction \(d\) définie sur \(F\), qui prend seulement des valeurs entières positives, vérifie la condition A si ou bien (1) il n’existe pas de métrique conforme \(\lambda\in C''\) de courbure de Gauss \(-4\) sur \(F - \{d(q) > 1\}\) et telle que \(\lambda_\sigma(t)\vert t\vert^{1-[d(q)]^{-1}}\) possède une limite finie positive à l’origine, où \(\sigma\) est un uniformisateur local \(\sigma(0) = q\) et \(\lambda_\sigma(t)\vert dt\vert\) est la représentation locale de la métrique en fonction de \(\sigma\) pour \(q\in F\); ou bien (2) un tel \(\lambda\) existe et le supremum des \(\lambda\)-aires de \(F - \{d(q) > 1\}\) est fini. Cette condition A intervient dans plusieurs théorèmes de cette note.
Un des résultats les plus importants est que la condition nécessaire et suffisante pour qu’un polygone fondamental non-euclidien convexe ait un nombre fini de côtés est que le groupe \(\Theta\) ait un nombre fini de générateurs.
Continuant ses investigations antérieurs [Contrib. Function Theory, Int. Colloqu. Bombay 1960, 203–210 (1960; Zbl 0113.06602)], l’A. s’occupe aussi de la relation entre les éléments paraboliques d’un groupe \(\Theta\)-arbitraire et certaines paires de côtés (“cusps”) d’un polygone fondamental non-euclidien convexe associé.
Enfin l’A. établit que si \(\Theta\) admet un sous-groupe Fuchsien de première espèce, alors \(\Theta\) lui-même est Fuchsien de première espèce.

MSC:
30F35 Fuchsian groups and automorphic functions (aspects of compact Riemann surfaces and uniformization)
PDF BibTeX XML Cite