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A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials. (English) Zbl 0108.36902
J. Mech. Phys. Solids 11, 127-140 (1963); errata and addendum 11, 376 (1963).
Für inhomogene, aus isotropen und homogenen elastischen Bestandteilen zusammengesetzte Phasen wird bei beliebiger geometrischer Form dieser Phasen ein von den Verff. in [Office Naval Res., 1961, Techn. Rep. No. 1, Univ. Pennsylvania] angegebenes Variationsprinzip für ein gewißes Volumenintegral \(U_p\), benutzt, zu deßen Herleitung der Spannungstensor der Mischung dargestellt wird als Summe eines Spannungstensors, der aus dem Verzerrungstensor der Mischung mit Hilfe der Laméschen Konstanten \(\lambda_0\), \(G_0\) eines homogenen Körpers berechnet wird, und eines Polarisationstensors. Der stationäre Wert von \(U_p\) ergibt sich dabei als Maximum, wenn für die Laméschen Konstanten \(\lambda\) und \(G\) die Ungleichungen \(\lambda>\lambda_0\), \(G>G_0\) gelten, und als Minimum, wenn \(\lambda<\lambda_0\), \(G<G_0\) gilt; der stationäre Wert von \(U_p\) ist dann gleich der Verzerrungsenergie \(U\) im inhomogenen Körper.
Die Annahme, daß auf die Oberfläche des inhomogenen Körpers eine Verschiebung \(\varepsilon_{ij}^0x_j\) ausgeübt wird mit konstanten \(\varepsilon_{ij}^0\), bewirkt die mittleren Verzerrungen \(\varepsilon_{ij}^0\) in dem inhomogenen Körper; die gleiche Oberflächenverschiebung bewirke in einem homogenen Körper der Elastizitätsmoduln \(K\) und \(G\) dieselbe Verzerrung \(\varepsilon_{ij}^0\). Das Volumenintegral \(U_p\) wird nun berechnet mit einem Polarisationstensor, der innerhalb jeweils einer Phase konstant ist; in einem Anhang wird gezeigt, daß dieselbe Betrachtung auch allgemeiner möglich ist. Die oben genannten Ungleichungen ergeben dann: wenn \(K_0\) und \(G_0\) für die Elastizitätskonstanten \(K_r\), \(G_r\) einer jeden Phase die Bedingungen \(K_r> K_0\), \(G_r>G_0\) erfüllen, dann ist \(U_p < U\), und im Fall \(K_r< K_0\), \(G_r<G_0\) ist \(U_p > U\), wobei \(U\) die Verzerrungsenergie des inhomogenen Körpers ist.
Definiert man mit der durch die Verzerrungen \(\varepsilon_{ij}^0\) gebildeten Verzerrungsenergie die effektiven Elastizitätskonstanten des inhomogenen Körpers, dann werden die letztgenannten Ungleichungen zwischen \(U_p\) und \(U\) zu Schranken für die effektiven Elastizitätskonstanten. Man kann sie verschärfen, indem man im Fall \(U_p< U\) für \(U_p\) sein Maximum einsetzt und im Fall \(U_p> U\) für \(U_p\) sein Minimum. Schranken für die reziproke Kompreßibilität (bulk modulus) findet man, indem man für \(\varepsilon_{ij}^0\) einen Kugeltensor wählt, und Schranken für \(G\), indem man für \(\varepsilon_{ij}^0\) einen reinen Deviator wählt. Durch geeignete Wahl von \(K_0\) und \(G_0\) lassen sich die Schranken weiter verschärfen. Es werden dann für die effektiven Elastizitätskonstanten \(K^*\) und \(G^*\) Ungleichungen der Form \(K_1^* < K^* < K_2^*\), \(G_1^* < G^* < G_2^*\) erhalten, wobei die unteren und oberen Schranken durch die Volumenanteile der Phasen und deren Elastizitätskonstanten dargestellt werden.
Für inhomogene Körper aus Wolframkarbid und Kobalt werden aus diesen theoretischen Ergebnissen die Youngschen \(E\)-Moduln ausgerechnet, wobei sich ergab, daß die beiden Schranken nur etwa 10% auseinander lagen, und die experimentell gemessenen Werte tatsächlich ziemlich dazwischen lagen. Wenn jedoch eine Phase viel härter als die andere ist, fallen die beiden Schranken weiter auseinander, so daß man in die Betrachtung die statistische Verteilung der verschiedenen Phasen einbeziehen müßte.
Reviewer: H. Schlechtweg

MSC:
74-XX Mechanics of deformable solids
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