×

zbMATH — the first resource for mathematics

On the curvature of surfaces, by a direct and intuitive method. (Della curvatura delle superficie, con metodo diretto ed intuitivo.) (Italian) JFM 01.0220.02
Rend. di Bologna (2). VIII. 27 (1868).
Man denke sich auf einer krummen Oberfläche eine beliebige Curve gezogen und in zwei benachbarten Punkten derselben die Tangenten, sowie die Berührungsebenen an die Fläche construirt. Die erste Tangente und ihre Projection auf die zweite Berührungsebene bestimmen mit der zweiten Tangenten eine dreiseitige Ecke, oder auf einer um den Scheitel derselben beschriebenen Kugel ein sphärisches Dreieck, dessen Hypotenuse und eine Kathete die Krümmungen der gegebenen Curve und des sie berührenden Normalschnittes messen. Die andre Kathete wird dann als Maass einer dritten Krümmumg, der tangentialen oder geodätischen, angesehen. Hiervon und von dem Ausdrucke für das Bogenelement \(ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\) ausgehend, gelangt der Verfasser durch eine Reihe von Infinitesimalbetrachtungen auf einfache Weise dazu, die bekannten Sätze über die bei der Verbiegung einer Fläche unverändert bleibenden Eigenschaften abzuleiten, wobei die Formeln von vornherein in möglichst einfacher und zusammengezogener Gestalt erscheinen. Im letzten Abschnitte sind die bekannten Gesetze, nach denen sich die Krümmung einer Fläche in der Umgebung eines Punktes ändert, entwickelt, jedoch ist die Behandlung mehr analytisch. Einige zum Schluss gegebene Anwendungen auf das Ellipsoid enthalten folgenden wohl neuen Satz, welcher sich den bekannten Sätzen von Joachimsthal anreiht: Es seien zwei concentrische, ähnliche und ähnlichliegende Ellipsoide gegeben, und man construire in zwei homologen Punkten die Berührungsebenen, dann ist das Produkt aus dem Abstande beider in den Inhalt der von einer Ebene ausgeschnittenen Ellipse constant.

MSC:
53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
Keywords:
curvature