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Theory of functions of complex variables. Vol. I. (Teorica delle funzioni di variabili complesse.) (Italian) JFM 01.0128.05
Vol. I. Pavia 1868 (1868).
Der Verfasser beginnt sein Lehrbuch mit einer methodisch geordneten Uebersicht über die Entwicklung der Theorie der complexen Grössen. Diese historische Einleitung, welche fast den dritten Theil des vorliegenden Bandes ausmacht, zerfällt in zwei Theile. Der erste, eine Geschichte der Theorie der elliptischen und Abel’schen Functionen, beginnt mit den Vorarbeiten des Maclaurin, d’Alembert, Fagnani, Euler, Lagrange und Landen, hebt dann die reformatorischen Bestrebungen Legendre’s hervor und analysirt die von verschiedenen Ausgangspunkten fortschreitenden Arbeiten Jacobi’s und Abel’s, die durch Einführung des complexen Arguments die Theorie zu neuer Fruchtbarkeit brachten. Bei Besprechung der \(\theta\)-Functionen werden auch die vorzüglichsten Arbeiten von Cauchy, Cayley, Eisenstein und Hermite über die elliptischen Functionen erwähnt. Hierauf wird Abel’s bedeutendste Entdeckung, das nach ihm benannte Theorem, und seine Untersuchungen über die Integration algebraischer Differentiale erörtert. An letztere schliessen sich die verwandten Arbeiten von Legendre, Richelot, Aronhold, Brioschi, Weierstrass, Liouville und Tchébichef u. A. Zum Schluss giebt der Verfasser eine Geschichte der Abel’schen Functionen von Jacobi’s Considerationes generales (Crelle, J. IX.) bis zu den neuesten Arbeiten über ihre Transformation.
Der zweite Theil der historischen Notizen behandelt die complexen Variabeln und die Functionen derselben. Hier nehmen natürlich die Arbeiten Cauchy’s den ersten Rang ein. Nachdem Gauss als sein Vorläufer erwähnt ist, wird die Analyse algébrique und die grosse Zahl der Untersuchungen über die complexen Functionen, ihr Begriff und ihre Darstellung analysirt. In Cauchy’s Arbeiten, meint der Verfasser, müsse man den Keim suchen für die späteren Methoden von Briot und Bouquet, von Weierstrass und Riemann, und sieht die genialen Entdeckungen Riemann’s fast wie eine unvermeidliche Folge der Vertiefung in Cauchy’s Ideen an. —
Wir haben bei der Besprechung der Einleitung des Buches länger verweilt, weil eine historische Uebersicht über diesen Zweig der Analyse bisher in gleicher Ausführlichkeit noch nicht gegeben wurde. Was den zweiten Theil des vorliegenden Bandes, die eigentliche Theorie, betrifft, so können wir uns mit einer Uebersicht seines Inhaltes begnügen. Er zerfällt in 4 Abschnitte. Der erste Abschnitt behandelt die aritmetischen Operationen, die Erweiterung des Begriffes der Zahl und den Begriff der Stetigkeit, giebt die geometrische Darstellung der Zahlen und die den arithmetischen Operationen entsprechenden Constructionen und schliesst mit den Functionen \(e^z\) und \(lz\). Der zweite Abschnitt ist dem Begriff der Function gewidmet; es folgen aufeinander reelle Functionen einer reellen Variabeln, reelle Functionen mehrerer reeller Variabeln, complexe Functionen reeller Variabeln und Functionen einer complexen Variabeln (Cauchy und Riemann). Geometrische Interpretationen, welche aus dem allgemeinen Functionsbegriffe folgen, werden allgemein wie auch an speciellen Beispielen erläutert. Im dritten Abschnitt findet sich eine Uebersicht über die gebräuchlichen Classificationen der Functionen, eine Theorie der Reihen und der unendlichen Producte und der Integrale längs geschlossener Linien. Der letzte Abschnitt endlich behandelt das Verhalten der monodromen Functionen in der Nähe der verschiedenen Werthe der Variabeln.

MSC:
30-03 History of functions of a complex variable
30-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functions of a complex variable