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The theory of groups. (English) Zbl 0084.02202
New York: The Macmillan Company. xiii, 434 p. (1959).
Dieses Buch ist, wie Verf. im Vorwort betont, sowohl als Lehrbuch für Anfänger mit geringen algebraischen Vorkenntnissen wie auch als Hilfsmittel und Nachschlagwerk für den forschenden Mathematiker gedacht. Unter jedem dieser beiden Gesichtspunkte stellt es eine interessante Bereicherung der vorhandenen Literatur dar.
Die erste Hälfte des Buches (Kap. 1–10, Inhaltsangabe s. u.) ist eine lehrbuchartige Einführung in die Gruppentheorie. Dem Studenten wird eine reiche, oft über das elementare hinausgehende Stoffauswahl geboten, die durch interessante Übungsaufgaben noch wertvoll ergänzt wird. Diese Kapitel bilden eine für den Anfänger sehr empfehlenswerte, wenn auch – vor allem wegen einiger störender Druckfehler – nicht ganz einfache Lektüre.
Der zweite Teil (Kap. 11–20) ist bei der zweifachen Zielsetzung des Buches naturgemäß weniger systematisch aufgebaut als der erste. Seine Kapitel sind entweder Ergänzungen zu Kapiteln des ersten Teiles oder behandeln Gebiete, die über den Rahmen eines einführenden Gruppentheoriekurses hinausgehen; wie die Verlagerungs-, Darstellungs- und Erweiterungstheorie (diese Gebiete erfahren in den Kapiteln 14–16 eine moderne Darstellung). Das letzte – und mit über 80 Seiten längste – Kapitel des Buches handelt von projektiven Ebenen, einem der Arbeitsgebiete des Verf. Es ist sehr begrüßenswert, daß dieses interessante Thema in einem Buch über Gruppentheorie behandelt wird; wie schnell die Entwicklung hier fortschreitet, wird daraus ersichtlich, daß viele Sätze dieses Kapitels 1955 beim Erscheinen des Buches ,,Projektive Ebenen” von G. Pickert [Berlin etc: Springer (1955; Zbl 0066.38707)] über den gleichen Gegenstand noch nicht bekannt waren, und daß einige wichtige neue Resultate auch in das vorliegende Buch nicht mehr aufgenommen worden sind.
Inhalt der einzelnen Kapitel:
1. Kapitel: Der Gruppenbegriff wird auf drei verschiedene Arten eingeführt; u.a. wird eine Definition mit \(ab^{-1}\) als Grundoperation gebracht. Das Kapitel enthält außerdem Grundtatsachen wie den Lagrangeschen Satz und schließt mit einer Reihe gründlich behandelter Beispiele: Diedergruppen, Oktaedergruppe, die einfache Gruppe der Ordnung 168, die Quaternionengruppe u.a.
2. Kapitel: Der Normalteilerbegriff wird eingeführt und die bekannten Homomorphie- und Isomorphiesätze bewiesen (allerdings nicht das sog. Zassenhaussche Lemma); ferner wird der Begriff des direkten Produktes eingeführt.
Das 3. Kapitel enthält die Grundlagen der Theorie der abelschen Gruppen bis zu der bekannten Aufspaltung des Strukturproblems in die Fragen nach torsionsfreien und Torsionsgruppen und deren Zusammensetzungen; außerdem werden die endlich erzeugbaren abelschen Gruppen klassifiziert.
4. Kapitel: Die Sylowschen Sätze und einige der üblichen Sätze über \(p\)-Gruppen werden bewiesen. Die Gruppen der Ordnungen \(p\), \(p^2\), \(pq\), \(p^3\) werden durch Erzeugende und Relationen dargestellt.
Das 5. Kapitel ist länger als die vorhergehenden und bringt eine relativ ausführliche Darstellung der Theorie der Permutationsgruppen. Die Einfachheit der alternierenden Gruppen für \(n\neq 4\) wird gezeigt, die Begriffe Transitivität, Primitivität und mehrfache Transitivität definiert und zugehörige Sätze bewiesen. Ferner enthält das Kapitel Sätze von Miller über den maximalen Transitivitätsgrad einer Permutationsgruppe sowie eine vom Verf. herrührende Verallgemeinerung eines Satzes von Jordan über vierfach transitive Permutationsgruppen. Das Kapitel schließt mit einer Betrachtung über die Sylowuntergruppen symmetrischer Gruppen.
6. Kapitel: Der Begriff des Automorphismus einer Gruppe wird eingeführt, das Holomorph einer Gruppe definiert und Sätze über vollständige Gruppen (d. h. solche mit trivialem Zentrum und ohne äußere Automorphismen) sowie normale (oder semidirekte) Produkte bewiesen.
Das 7. Kapitel handelt von freien Gruppen. Im Mittelpunkt steht der Satz von Schreier über die Freiheit der Untergruppen freier Gruppen; außerdem wird das Nielsensche Erzeugendensystem für die Automorphismengruppe einer endlich erzeugbaren freien Gruppe angegeben.
Im 8. Kapitel werden die Sätze von Jordan-Hölder und Remak-Schmidt aus Sätzen über modulare Verbände hergeleitet. Ferner enthält das Kapitel Resultate von Wielandt über Subnormalteiler (nachinvariante Untergruppen).
Das 9. Kapitel beginnt mit dem Satz von Frobenius über die Lösungen von \(x^n=1\) in einer endlichen Gruppe und der Vermutung, daß diese Lösungen, falls es genau \(n\) von ihnen gibt, einen Normalteiler bilden. Dann wird der Begriff der Auflösbarkeit eingeführt und die P. Hallschen Verallgemeinerungen der Sylowschen Sätze für auflösbare Gruppen bewiesen. Das Kapitel schließt mit einer Charakterisierung der metazyklischen Gruppen.
Im 10. Kapitel werden überauflösbare und nilpotente Gruppen behandelt. Überauflösbarkeit wird im engeren Sinne definiert; sie hat hier endliche Erzeugbarkeit zur Folge. Die Frattinisehe Untergruppe wird definiert und verschiedene Kriterien für Nilpotenz bewiesen. Den Abschluß bilden Betrachtungen über Normalreihen überauflösbarer Gruppen und der Satz von Huppert über die Äquivalenz der Überauflösbarkeit einer endlichen Gruppe mit der Eigenschaft, daß alle ihre maximalen Untergruppen Primzahlindex haben. Der Satz von Schmidt-Iwasawa wird nicht gebracht.
Im Mittelpunkt des 11. Kapitels steht ein Satz von E. Witt über höhere Kommutatoren [J. Reine Angew. Math. 177, 152–160 (1937; Zbl 0016.24401)]; vorher wird der sog. ,,collecting process” eingeführt. Sodann werden Anwendungen auf Ringkommutatoren gebracht und ein Satz des Verf. über freie Erzeugendensysteme freier abelscher Gruppen bewiesen.
12. Kapitel: Die Theorie der \(p\)-Gruppen wird weiterentwickelt, Sätze von Burnside (über die Erzeugung von \(P\) und \(P\Phi P\)) und P. Hall (über Automorphismen von \(p\)-Gruppen) und Sätze über reguläre \(p\)-Gruppen bewiesen. Ferner werden \(p\)-Gruppen mit zyklischen Untergruppen vom Index \(p\) sowie die Hamiltonschen Gruppen klassifiziert.
Im 13. Kapitel werden weitere Sätze über abelsche Gruppen gebracht. Die Gruppen vom Typ \(Z(p^\infty)\) und divisible Gruppen werden behandelt; ferner wird der Begriff der reinen Untergruppe eingeführt. Die Sätze von Prüfer und Ulm werden nicht gebracht. Verf. kann hier mit Recht auf die 1954 erschienene Darstellung bei I. Kaplansky [Infinite abelian groups. Ann Arbor: University of Michigan Press (1954; Zbl 0057.01901)] verweisen.
14. Kapitel: Monomiale Darstellungen und Verlagerungen werden eingeführt und zunächst der Satz von Burnside über die Existenz von Normalteilern in solchen endlichen Gruppen bewiesen, welche eine im Zentrum ihres Normalisators enthaltene Sylowuntergruppe besitzen. Sodann werden die Sätze von Grün und ein Satz von H. Wielandt [J. Reine Angew. Math. 182, 180–193 (1940; Zbl 0023.20906)] aus einem allgemeinen Resultat von P. Hall hergeleitet, welches sonst noch nicht veröffentlicht ist und deshalb hier reproduziert sei: Mit \(u_p(X)\) werde diejenige (charakteristische) Untergruppe der endlichen Gruppe \(X\) bezeichnet, welche von den Elementen mit zu \(p\) teilerfremder Ordnung erzeugt wird. Ist nun \(G\) eine endliche Gruppe mit einer Untergruppe \(H\), die den Normalisator einer \(p\)-Sylowuntergruppe \(P\) enthält, so gilt \(u_p(H)= u_p(H\cap u_p(G))\), und ist \(u_p(H)\neq H\cap u_p(G)\), so ist nicht nur \(u_p(H)\), sondern sogar die Gruppe \(H_0 =(H\cap u_p(G))^p [H, H\cap u_p(G)] u_p(H)\) eine echte Untergruppe von \(H\cap u_p(G)\). (\(X^p\) bedeutet die von den \(p\)-ten Potenzen der Elemente von \(X\), und \([Y, Z]\) die von den Kommutatoren \([y, z]\) mit \(y\in Y\), \(z\in Z\) erzeugte Untergruppe.) In diesem Fall kann man \(H\cap u_p(G)\) aus \(H_0\) durch Adjunktion von Konjugierten gewisser iterierter Kommutatoren \([u, z, \dots, z]\) mit \(u\in P\cap u_p(G)\) und \(z\in P\) erhalten.
Das 15. Kapitel beschäftigt sich mit Gruppenerweiterungen. Zuerst wird die Schreiersche Erweiterungstheorie behandelt und damit zusammenhängende Ergebnisse über zentrale und zyklische Erweiterungen sowie der Zerfällungssatz von Schur bewiesen. Auf eine Betrachtung über Erweiterungen und definierende Relationen folgen sodann Sätze des Verf. über Gruppenringe und zentrale Erweiterungen. Schließlich werden die Zusammenhänge zwischen Erweiterungs- und Kohomologietheorie entwickelt; als Anwendung wird zum Abschluß der Zerfällungssatz von W. Gaschütz bewiesen [J. Reine Angew. Math. 190, 93–107 (1952; Zbl 0047.02702)].
In dem mehr als 60 Seiten langen 16. Kapitel wird die Darstellungstheorie behandelt. Nach der Einführung der Grundbegriffe Darstellung, Charakter und Äquivalenz und nach dem Beweis des Reduzibilitätssatzes von Maschke wird der Begriff des Gruppenrings eingeführt und der Zusammenhang zwischen halbeinfachen Gruppenringen und gewöhnlichen Darstellungen aufgedeckt. Darauf folgen Sätze über absolute Irreduzibilität und einfache Ringe, das Lemma von Schur und weitere Sätze über Charaktere; insbesondere wird die Eindimensionalität der absolut irreduziblen Darstellungen von abelschen Gruppen bewiesen und die bekannten Relationen zwischen gewöhnlichen Charakteren hergeleitet, mit deren Hilfe sodann Sätze über Charaktere von Permutationsgruppen bewiesen werden. Als nächstes werden die Beweise der Sätze von Burnside (über die Auflösbarkeit der Gruppen von der Ordnung \(p^mq^n\)) und Frobenius (über die Untergruppeneigenschaft der Menge der fixelementfreien Permutationen einer Gruppe mit Grad \(n\) und Minimalgrad \(n-1\)) sowie andere Anwendungen der Darstellungstheorie gebracht. Der Schluß des Kapitels besteht aus einem kurzen Abschnitt über unitäre und orthogonale Darstellungen und einigen Beispielen: Zweidimensionale komplexe unimodulare und dreidimensionale reelle orthogonale Gruppe, und Darstellungen und Charakterentafel von Tetraeder- und Oktaedergruppe.
Das kurze 17. Kapitel bringt den Begriff des freien Produktes und einen Satz von A. Kurosch [Math. Ann. 109, 647–660 (1934; Zbl 0009.01004)].
Das 18. Kapitel ist dem Burnsideschen Problem gewidmet. Die Lösung für Exponenten \(2, 3, 4\) wird durchgeführt. Auf den Beweis von P. Hall- und Higmanschen Reduktionssätzen zum eingeschränkten Burnside-Problem [P. Hall and G. Higman, Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 6, 1–42 (1956; Zbl 0073.25503)] folgt dann noch eine Beweisskizze der von Verf. herrührenden Lösung des Burnsidesehen Problems für den Exponenten 6.
Das 19. Kapitel bringt noch zwei Sätze über Untergruppenverbände, nämlich erstens den Satz von Ore über die Äquivalenz von lokaler Zyklizität der Gruppe und Distributivität ihres Untergruppenverbandes, und zweitens den Satz von Iwasawa über die Äquivalenz von Überauflösbarkeit einer endlichen Gruppe mit der Längengleichheit aller ihrer maximalen Untergruppenketten.
Das 20. und letzte Kapitel ist, wie bereits erwähnt, ein Abriß der Theorie der projektiven Ebenen. Nach den Definitionen der Grundbegriffe projektive Ebene, Kollineation usw. wird zunächst der von Baer aufgedeckte Zusammenhang zwischen dem Desarguesschen Satz und der Existenz von Perspektivitäten behandelt, sodann die vom Verf. eingeführte Koordinatisierung mit Ternärkörpern, für welche als Beispiele gewisse Veblen-Wedderburnsche Algebren angegeben werden. Nach den üblichen Charakterisierungen von Translations-, Moufangschen und Desarguesschen Ebenen durch algebraische Eigenschaften ihrer Ternärkörper und Transitivitätseigenschaften ihrer Perspektivitätengruppen wird das Augenmerk vorwiegend auf endliche Ebenen gerichtet. Auf die Beweise der Sätze von Wedderburn und Artin-Zorn über endliche Schief- und Alternativkörper folgt zunächst die Diskussion des Zusammenhanges zwischen endlichen Fastkörpern und scharf zweifach transitiven endlichen Gruppen, und danach wird die Zassenhaussche Klassifikation der endlichen Fastkörper [H. Zassenhaus, Abh. Math. Semin. Hamb. Univ. 11, 187–220 (1935; Zbl 0011.10302)] ohne Beweis angegeben. Sodann wird der Bruck-Rysersche Nichtexistenzsatz für endliche Ebenen [R. H. Bruck and H. J. Ryser, Can. J. Math. 1, 88–93 (1949; Zbl 0037.37502)] bewiesen. Es folgen Sätze über Kollineationen endlicher Ebenen, u. a. ein von Hughes, Parker und Ref. gefundener Satz über die Transitivitätsklassen von Kollineationsgruppen (vgl. D. R. Hughes, Trans. Am. Math. Soc. 86, 284–296 (1957; Zbl 0078.34102); E. T. Parker, Proc. Am. Math. Soc. 8, 350–351 (1957; Zbl 0091.32502) und Ref., Math. Z. 69, 59–89 (1958; Zbl 0078.12904)]), weiter der Satz von Singer über die Zyklizität endlicher Desarguesscher Ebenen, Kriterien von Gleason und Ostrom für den Desarguesschen Satz (inzwischen von A. Wagner [Math. Z. 71, 113–123 (1959; Zbl 0085.14301)] und Wagner und T. G. Ostrom [Math. Z. 71, 186–199 (1959; Zbl 0085.14302)] verbessert), der Multiplikatorensatz des Verf. über zyklische Ebenen und Nichtexistenzsätze von D. R. Hughes [Trans. Am. Math. Soc. 86, 284–296 (1957; Zbl 0078.34102)]. Das Kapitel schließt mit einer von Hughes [Can. J. Math. 9, 378–388 (1957; Zbl 0082.35701)] gefundenen Klasse nichtdesarguesscher endlicher Ebenen.

MSC:
20-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to group theory
20-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to group theory
51E15 Finite affine and projective planes (geometric aspects)