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Generalized Hamiltonian dynamics. (English) Zbl 0080.41402
Die vom Verf. früher [Can. J. Math. 2, 129–148 (1950; Zbl 0036.14104)] angegebene Methode zur Herleitung der kanonischen Form der Bewegungsgleichungen aus ihrer Euler-Lagrangeschen Form für den Fall, daß – wie in den relativistischen Feldtheorien – die kanonischen Impulse keine unabhängigen Funktionen der Geschwindigkeiten sind, wird vom Verf. auf eine einfache und handliche Form gebracht.
Sind von den \(N\) kanonischen Impulsen \(p_n\) nur \(N - M\) unabhängige Funktionen der kanonischen Geschwindigkeiten \(\dot q_n\), so wird gezeigt, daß zwischen den Koordinaten \(q_n\) und den Impulsen \(M\) unabhängige Beziehungen von der Form (1) \(\Phi_m(q,p) = 0\) \((m=1,\ldots, M)\) existieren. Aus der Forderung \(\dot\Phi = 0\) ergibt sich die Existenz von weiteren Gleichungen zwischen den Koordinaten und den Impulsen: (2) \(\chi_k(q,p)=0\) \((k = 1, \ldots)\). Es muß dann weiter auch \(\dot\chi=0\) gelten. Hieraus folgen evtl. neue Bedingungen für die \(p\) und \(q\), die ebenfalls zu den \(\chi\)-Gleichungen gezählt werden usf. Der Prozeß bricht aber im allgemeinen nach endlich vielen Schritten ab, so daß nur eine endliche Zahl \(K\) von unabhängigen \(\chi\)-Gleichungen existiert.
Verschwinden für eine Anzahl \(R\) \((0 < R \leq M)\) der Funktionen \(\Phi\) die mit der Hamilton-Funktion \(H\) und die mit allen \(\chi_k\) gebildeten Poisson-Klammern, so sind die entsprechenden Gleichungen \(\Phi_r = 0\) \((r = 1, 2,3)\) ,,Bedingungen erster Klasse”. Der Verf. zeigt, daß mit Hilfe dieser ,,Funktionen erster Klasse” \(\Phi_r\) die Hamilton-Funktion \(H\) durch (3) \(H' = H + \nu_r\Phi_r\) ersetzt werden kann, wobei die Koeffizienten \(\nu_r\) beliebige neue Funktionen sind. Diesen \(R\) beliebig wählbaren Koeffizienten in (3) entspricht das Auftreten von \(R\) willkürlichen Funktionen der Zeit in den Lösungen der Bewegungsgleichungen. Bei geeigneter Wahl der \(\nu_r\) können durch die Transformation (3) \(R\) kanonische Impulse \(p\) aus der Hamilton-Funktion eliminiert werden.

MSC:
83C05 Einstein’s equations (general structure, canonical formalism, Cauchy problems)
83C10 Equations of motion in general relativity and gravitational theory
70S05 Lagrangian formalism and Hamiltonian formalism in mechanics of particles and systems
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