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Einführung in die operative Logik und Mathematik. (German) Zbl 0068.00801
Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 78. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag. 285 S. mit 1 Abb. (1955).
Das Buch wurde bereits in diesem Zbl 0066.24802 von Herrn Gert Heinz Müller besonders ausführlich besprochen. In Ergänzung dieses, hauptsächlich kritisch eingestellten, Referats soll hier versucht werden, das Hauptanliegen des Buches etwas deutlicher herauszustellen. Es versucht, wie auch Herr Müller angibt, ,,eine neue Begründung der fundamentalen Teile der Mathematik”. Dabei wird – und dies ist das Entscheidende ,,das Begründungsproblem als die radikale Frage nach dem Woher jedes mathematischen Wissens” (S. 1) aufgefaßt. Die axiomatische Methode würde nur dann in diesem Sinne zu einem Verständnis der Grundlagen der Mathematik führen, wenn die Axiome und Ableitungsregeln einer solchen Theorie als evident angesehen werden; davon sind wir aber heute weit entfernt.
Verf. schildert in der Einleitung die Auffassungen, die in der Grundlagenforschung zu dieser Frage zutage getreten sind, and entwickelt daran anschließend seinen eigenen Weg. Er geht aus von dem Satz (mit dem der Text des Buches beginnt): ,,Das schematische Operieren mit Figuren ist jedem geläufig”. Es kann z. B. durch unmittelbares Vor- und Nachmachen erlernt werden (S.13). Dieses uns geläufige schematische Operieren mit Figuren, m. a. W. das Herstellen von Figuren nach Regeln wird zur Grundlage von Logik und Mathematik gemacht, und damit ist dann in der Tat eine neue Antwort auf die Frage nach dem Woher des mathematischen Wissens gegeben. Ref. möchte meinen, daß es eine Antwort im Sinne von Leibniz ist: Wenn alles Denken mit Zeichen geschieht, und wenn das Denken – soweit möglich – zu einem Kalkül werden soll, wie Leibniz wollte, so heißt das ja gerade, daß das schematische Operieren mit Zeichen eine grundlegende Rolle zu spielen hat. Gegenstand des vorliegenden. Buches ist die Durchführung der hier skizzierten Aufgabe, nämlich von dem genannten Ausgangspunkt zur Logik und zur konkreten Mathematik hinzufiihren.
Einige Schritte auf diesem Wege seien kurz angedeutet: Zu einem Kalkül gehören
1. Atome, das sind Figuren, Artefakte, von denen etwa vorausgesetzt werden muß, daß sie beliebig wiederholbar und wiedererkennbar sind, z. B. \(\vert, =, \wedge, \vee,\ldots\);
2. Anfänge, Ausgangsfiguren, z. B. \(\vert\) oder (in einem anderen Kalkül) \(\vert = \vert\);
3. Regeln, nach denen der Übergang von einer Figur zu einer anderen vollzogen werden darf, im ersten Beispiel etwa \(a\to a \vert\), wobei \(a\) eine Variable für eine bereits hergestellte Figur ist. Nimmt man \(x\), \(y\) als Variable für in diesem Kalkül hergestellte Figuren, so kann ein neuer Kalkül durch den Anfang \(\vert = \vert\) und die Regel \(x =y\to x\vert = y\vert\) eingeführt werden.
Das Herstellen einer Figur heißt ableiten. Die Behauptung, daß eine Figur \(a\) in einem Kalkül \(K\) ableitbar ist, ist ,,beweisdefinit” in dem Sinne, daß klar ist, wodurch diese Behauptung zu beweisen ist, nämlich durch Angabe einer Ableitung. Entsprechend ist die Behauptung, daß eine Figur in \(K\) unableitbar ist, ,,widerlegungsdefinit”. Jedoch oft sich die Gleichheit und Ungleichheit zweier Figuren selbst durch einen Kalkül erfassen und auf diesem Wege die Behauptung ,,Die Figur \(\mathfrak b\) ist ungleich allen in \(K\) ableitbaren Figuren” und damit die Unableitbarkeit von \(\mathfrak b\) beweisbar machen.
In einem Kalkül \(K\) kann es außer den definierenden Regeln. weitere Regeln geben, deren Benutzung keine neuen Figuren liefert. Sie heißen ,,zulässig für \(K\)”. Im ersten Kapitel ,,Protologik” werden fünf Prinzipien entwickelt, nach denen man Zulässigkeiten von Regeln feststellen kann. Genannt sei das Induktionsprinzip, das eine Verallgemeinerung des bekannten arithmetischen ist, and das Inversionsprinzip, das in einem einfachen Beispiel so aussieht: Im zweiten der oben angeführten Kalküle steht für die Ableitung der Figur \(x\vert = y\vert\) nur die Regel \(x = y\to x\vert = y\vert\) zur Verfügung. Ist also \(x\vert = y\vert\) abgeleitet, so muß vorher \(x = y\) abgeleitet sein. Also ist die Regel \(x\vert = y\vert \to x =y \) in diesem Kalkül zulässig.
Weiterhin werden (Meta- )Regeln entwickelt, die von in einem Kalkül zulässigen Regeln stets wieder zu zulässigen Regeln führen. Diejenigen derartigen (Meta-), (Meta-meta-) Regeln, die für jeden beliebigen Kalkül zulässige Regeln liefern, ergeben den Logikkalkül. Hier werden die Junktoren \(\wedge, \vee\), die Quantoren und die Negation eingeführt. Als ,,effektiv” gültig ergeben sich die Regeln der intuitionistischen Logik, das tertium non datur wird als ,,fiktiv” verwendbar gerechtfertigt. Näher kann darauf an dieser Stelle nicht eingegangen werden. Als ,,Erweiterungen der Logik” werden Gleichheit, Kennzeichnungen, Abstraktionen, Relationen and Funktionen eingeführt. Sodann wird die Arithmetik bis zu den algebraischen Zahlen aufgebaut.
Für die Grundlegung der Analysis sind die bisberigen sprachlichen Mittel noch durch Definitionsschemata für die induktive (rekursive) Definition von Relationen zu ergänzen. Damit erhält man die ,,elementare Sprache” über gegebenen Atomen. Nimmt man die in ihr hergestellten Figuren als Atome and konstruiert darüber wieder die elementare Sprache, so erhält man eine zweite Sprachschicht. Dieses Verfahren wird iteriert und durch die \(\omega\)-te Schicht als Vereinigung der Schichten endlicher Höhe ergänzt. Auch das kann weiter iteriert werden. Für die Analysis ist die Betrachtung zweier Schichten, deren Höhen Limeszahlen sind, ausreichend. Wesentlich ist, daß der Begriff der Abzählbarkeit relativiert wird. Jede mit den sprachlichen Mitteln einer bestimmten Schicht darstellbare Menge ist abzählbar, jedoch erfordert die .Abzählung unter Umständen Mittel einer höheren Sprachschicht. Die Darstellung wird bis zu den grundlegenden Sätzen der Analysis durchgeführt (Lebesguesches Integral, Vollständigkeit des Hilbert-Raumes).
Ein letztes Kapitel stellt die Beziehungen zur in axiomatischer Methode aufgebauten ,,abstrakten Mathematik” (Algebra und Topologie) her.
Eine merkwürdige Schwierigkeit für manche Leser besteht darin, sich radikal auf den Standpunkt des Verfassers zu stellen, wie ich bei der Besprechung von Teilen des Buches im mathematischen Seminar in Freiburg bemerkt habe. Dabei ist dieser Standpunkt nicht etwa an sich schwer einzusehen, sondern es ist eine Willensentscheidung erforderlich, die Gedankengänge des Verf. nicht mit Maßstäben zu messen, die von anderen Grundlagen abgeleitet sind. Diese Schwierigkeit kann leicht zur Quelle von Mißverständnissen werden.
Der Verf. hat seine Grundgedanken inzwischen auch in einem Göschen-Band (1176/1176a) ,,Formale Logik”, Berlin (1958; Zbl 0082.01402) dargestellt. Sein Bestreben ist es, zu verstehen, warum die Grundregeln der Logik und der Mathematik keine willkürlichen Setzungen sind. Während Brouwer dieses Verstehen auf Intuitionen zurückführt, wird hier davon ausgegangen, was wir tun, wenn wir formale Logik und Mathematik treiben: Operieren mit Zeichen nach Regeln. Wem ein Verständnis der Mathematik in diesem Sinne wichtig ist, wird dem Verf. für dieses Buch sehr dankbar sein. Der Meinung von Herrn Müller, ,,daß das eingangs genannte Hauptanliegen des Buches daran scheitert, das …” kann ich mich nicht anschließen.
Zusatz der Redaktion (E. Pannwitz): Herr Gert H. Müller teilt folgende Korrektur seines Referates (loc. cit.) mit: Auf Seite 254, Zeile 20–19 von unten sind die Worte ,,mannigfache, oft gar nicht zur Sache passende, und halbwahre polemische Bemerkungen und weitere Undeutlichkeiten” zu ersetzen durch ,,mannigfache Undeutlichkeiten”.
Reviewer: H. Gericke

MSC:
03-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to mathematical logic and foundations
Keywords:
logic