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Zur Theorie der Modifikationen. I. Stetige und eigentliche Modifikationen komplexer Räume. (German) Zbl 0064.08101

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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] K. Weierstrass hat den in Rede stehenden Satz für den Fall des Osgoodschen Raumes in der Arbeit: Untersuchungen über die 2r-fach periodischen Funktionen vonr Veränderlichen, Crelles Journal89, 1-8 (1880), ohne Beweis ausgesprochen; den ersten Beweis gabA. Hurwitz: Beweis des Satzes, daß eine einwertige Funktion beliebig vieler Variablen, welche überall als Quotient zweier Potenzreihen dargestellt werden kann, eine rationale Funktion ihrer Argumente ist, Crelles Journal95, 201-206 (1883). Für beliebige mehrfach-projektive komplexe Räume wurde der Satz vonD. Jackson bewiesen: Note on rational functions of several complex variables. Crelles Journal146, 185-188 (1916).
[2] W. L. Chow: On compact analytic varieties. Amer. Journ. of Math.71, 893-914, (1949). Wegen weiterer Beweise siehe:H. Kneser: Analytische Mannigfaltigkeiten im komplexen projektiven Raum. Math. Nachr.4, 382-391 (1950/51);H. Cartan: Problèmes globaux dans la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, Proceed. Intern. Congr. of Math.1950, vol. 1, S. 152-164;R. Remmert undK. Stein: Über die wesentlichen Singularitäten analytischer Mengen. Math. Ann.126, 263-306 (1953);H. Cartan: Séminaire 1953/54, Exp. XIV sowieW. Stoll: Einige Bemerkungen zur Fortsetzbarkeit analytischer Mengen. Math. Z.60, 287-304 (1954). · Zbl 0041.48302
[3] H. Hopf: Über komplex-analytische Mannigfaltigkeiten. Rend. Mat. appl. Serie V,10, 169-182 (1951), sowieH. Hopf: Schlichte Abbildungen und lokale Modifikationen 4-dimensionaler komplexer Mannigfaltigkeiten. Comm. Math. Helv.29, 132-155 (1955). · Zbl 0044.20003
[4] Generall lassen sich zwei mehrfach-projektive komplexe Räume gleicher Dimension durch einen verallgemeinerten ?-Prozeß (monoidale Transformation) und seine Umkehrung ineinander überführen. Vgl. hierzu:E. Kreyszig: Stetige Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten. Math. Ann.128, 479-492 (1955); gewisse Resultate der vorliegenden Arbeit sind hier für komplexe Mannigfaltigkeiten bereits angegeben. · Zbl 0064.08002
[5] Nach W. V. D. Hodge undD. Pedoe: Methods of Algebraic Geometry III, Cambridge University Press (1954), S. 222 ist ein ?-Prozeß nebst seiner Umkehrung eine birationale Transformation.
[6] H. Behnke undK. Stein: Modifikation komplexer Mannigfaltigkeiten und Riemannscher Gebiete. Math. Ann.124, 1-16 (1951). · Zbl 0043.30301
[7] Vgl. hierzu auchW. Stoll: Über meromorphe Modifikationen. Habilitationsschrift Tübingen 1954, S. 7.
[8] N. Bourbaki: Topologie Générale, 2. Aufl., Chap. 1, § 10.9.
[9] Wir führen in dieser Arbeit den Begriff des komplexen Raumes im Anschluß anH. Behnke undK. Stein Ioc. cit. 6) ein.H. Cartan: Séminaire 1951/52, Exp. XIII und Séminaire 1953/54, Exp. VI gibt eine andere Definition (espace analytique général). Jeder komplexe Raum im Sinne vonH. Cartan ist ein komplexer Raum im Sinne vonH. Behnke undK. Stein. · Zbl 0043.30301
[10] Dies ist nicht völlig trivial. Man hat zum Beweise im wesentlichen zu zeigen. daß ? eine offene Abbildung ist. Vgl.H. Grauert undR. Remmert loc. cit.10a).
[11] Vgl. hierzu wiederH. Grauert undR. Remmert, loc. cit.10a), wo grundlegende Aussagen dieser Art exakt bewiesen werden.
[12] Dieser Satz wurde vonR. Remmert bewiesen: Holomorphe und meromorphe Abbildungen analytischer Mengen, erscheint demnächst in den Math. Ann.; vgl. ferner:K. Stein: Analytische Abbildungen allgemeiner analytischer Räume. Colloque de Topologie de Strasbourg, Avril 1954.
[13] Hinsichtlich der genauen Beschreibung vgl.H. Grauert undR. Remmert, loc. cit.10a).
[14] H. Behnke undK. Stein loc. cit. 6). · Zbl 0043.30301
[15] SieheW. Stoll, loc. cit.7).
[16] T. Radó: Über eine nicht fortsetzbare Riemannsche Mannigfaltigkeit. Math. Z.20, 1-6 (1924);H. Behnke undK. Stein loc. cit.6) undH. Cartan: Sur une extension d’un théorème de Radó. Math. Ann.125, 49-50 (1952).
[17] H. Behnke undK. Stein loc. cit6), Satz 2, S. 14.
[18] Daß bei der hier gegebenen Definition der analytischen Menge die Urbilder analytischer Mengen bezüglich holomorpher Abbildungen analytische Mengen sind, ist nicht selbstverständlich, sondern bedarf eines Beweises. Vgl. hierzuH. Grauert undR. Remmert, loc. cit.10a).
[19] Vgl.R. Remmert sowie auchK. Stein, loc. cit.11).
[20] Vgl.H. Grauert: Charakterisierung der holomorph vollständigen komplexen Räume. Math. Ann.129, 223-259 (1955), Satz 1 · Zbl 0064.32603
[21] Vgl.R. Remmert, loc. cit.11).
[22] Es gilt folgende Verallgemeinerung von Hilfssatz 3:Es sei ? eine holomorphe Abbildung eines n-dimensionalen komplexen Raumes Y n in eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit X n ;es sei M eine höchstens (n-2)-dimensionale analytische Menge in Y n ,derart, daß in jedem uniformisierbaren Punkt von Y n -M die Funktionalmatrix der Abbildung ? den Rang n hat. Dann ist Y n eine komplexe Mannigfaltigkeit, und die Funktionalmatrix von ? ist in jedem Punkt von Y n vom Range n. ? Zum Beweis vgl.:H. Grauert undR. Remmert: Plurisubharmonische Funktionen in komplexen Räumen und Anwendungen auf einen Satz vonOka.
[23] Der Durchschnitt analytischer Mengen ist eine analytische Menge; vgl.H. Grauert undR. Remmert, loc. cit.16a).
[24] Hinsichtlich des Beweises vgl.:H. Grauert undR. Remmert loc. cit.17).
[25] Vgl.R. Remmert sowie auchK. Stein loc. cit.11).
[26] Vgl.E. Kreyszig loc. cit. 4). · Zbl 0064.08002
[27] Die Forderung, daß der RaumY n eine abzählbare Basis besitzt, ist für die Gültigkeit von Hilfssatz 4 wesentlich. Ersetzt man nämlich nachH. Hopf loc. cit. 3), sowieE. Calabi undM. Rosenlicht loc. cit24), jeden Punktx der Ebenez 1=0 inP 1 {\(\times\)}P 1 durch eine TrägersphäreS x , der derz 2-Richtung entsprechende Punkt fehlt, so erhält man eine komplexe MannigfaltigkeitY 2, die dieser Forderung nicht genügt. Die Menge der Punkte aufS x , die derz 1-Richtung entsprechen, bilden eine nulldimensionale analytische Menge inY 2. Man zeigt leicht, daß jede UmgebungU dieser Menge aus den Punkten einer vollen Umgebung der Ebenez 1=0 desP 1 {\(\times\)}P 1 besteht. In dieser und damit auch inU liegen aber im Gegensatz zum Hilfssatz 4 überabzählbar viele eindimensionale analytische Mengenz 1=c, c ? 0.
[28] Vgl.R. Remmert undK. Stein loc. cit2) sowieW. Rothstein: Zur Theorie der Singularitäten analytischer Funktionen und Flächen. Math. Ann.126, 221-238 (1953); ferner:H. Cartan: Séminaire 1953/54 Exp. XIII u. XIV. · Zbl 0051.06303
[29] Allgemeine Bedingungen dafür, daß ein komplexer Raum keine eigentliche wesentliche Modifikation eines zu ihm analytisch inäquivalenten komplexen Raumes sein kann, werden in der unter20) zitierten Arbeit der Verff. angegeben.
[30] Siehe etwaE. Calabi undM. Rosenlicht: Complex analytic manifolds without countable base, Proceed. Amer. Math. Soc.4, 335-340 (1952). Das in dieser Arbeit angegebene Beispiel wurde mündlich auch vonH. Hopf mitgeteilt; vgl. auchH. Hopf, loc. cit.3).
[31] Zur Theorie der normalen Einbettung einer analytischen Menge vgl.H. Grauert loc. cit. 16a), wo sich weitere Literaturhinweise finden.
[32] Ein allgemeines Verfahren, zweidimensionale komplexe Räume durch eigentliche Modifikationen in komplexe Mannigfaltigkeiten zu überführen, wurde vonF. Hirzebruch angegeben: Über vierdimensionale Riemannsche Flächen mehrdeutiger analytischer Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen. Math. Ann.126, 1-22 (1953). Für dreidimensionale algebraische Mengen wurde ein solches Verfahren vonO. Zariski mitgeteilt: Reduction of the singularities of algebraic three dimensional varieties. Ann. of Math.45, 472-542 (1944). Für den Fall höherer Dimension ist bis heute unbekannt, ob sich algebroide Singularitäten durch eigentliche Modifikationen auflösen lassen. · Zbl 0093.27605
[33] Vgl.H. Behnke undK. Stein loc. cit. 6). · Zbl 0043.30301
[34] SieheH. Hopf loc. cit. 3).
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