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Higher transcendental functions. Vol. II. (English) Zbl 0052.29502
Bateman Manuscript Project. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Co., Inc. xvii, 396 p. (1953).
(Bd. I s. Zbl 0051.303.)
Band II: Im 7. Kap. kommen allein die Zylinderfunktionen und die mit ihnen zusammenhängenden Funktionen zur Sprache. Der 1. Teil geht mehr auf allgemeine Zusammenhänge ein und bringt in vielen Fällen eine kurz gehaltene Herleitung. Es werden besprochen die Besselsche D.Gl. mit ihren verschiedenen Lösungen, die mannigfachen dafür existierenden Integraldarstellungen, dann die Rekursionsformeln, Fragen der analytischen Fortsetzung und die verschiedenen (aus den Integraldarstellungen oder unmittelbar aus der Differentialgleichung erhaltenen) asymptotischen Entwicklungen (Langer). Die Ergebnisse der letzten beiden Jahrzehnte sind weitgehend berücksichtigt worden. Es folgen die abgeleiteten Funktionen, die Additionstheoreme, die Lage der Nullstellen, die vielen uneigentlichen Integrale mit Besselschen Funktionen, die Reihenentwicklungen nach Art der Reihen von Neumann, Kapteyn, Schlömilch und Fourier-Bessel und Integraldarstellungen willkürlicher Funktionen mit den Zylinderfunktionen als Kern.
Der 2. Teil des Kapitels bringt eine Fülle weiteren Formelmaterials zu diesen einzelnen Abschnitten, ohne auf Beweise einzugehen.
Das 8. Kap. behandelt die Funktionen des parabolischen Zylinders und des Drehparabols. Auch hier werden nacheinander die nämlichen Fragen berührt, wie bei den Besselschen Funktionen, und mit einer Fülle von Formelmaterial beantwortet. Bemerkenswert sind verschiedene Integralsätze und Integraldarstellungen, bei denen die Integration über die Parameter geht.
Kap. 9 bringt das wichtigste, bisher bekannte Formelmaterial über die unvollständige \(\Gamma\)-Funktion und die damit verwandten Funktionen. Als mathematische Symbole werden die Zeichen
\[ \gamma(\alpha,z) = \int_0^z e^{-t} t^{\alpha-1}\,dt,\quad \Gamma(\alpha,z) = \Gamma(\alpha) - \gamma(\alpha,z), \]
aber auch \[ \gamma^*(\alpha,z) = \frac{z^{-\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\cdot \gamma(\alpha,z) \] verwandt.
Die weiteren Angaben entsprechen der schon oben angegebenen Aufteilung. Das Formelmaterial wird auch auf die Sonderfälle der unvollständigen \(\Gamma\)-Funktion ausgedehnt, und zwar werden berücksichtigt das Exponentialintegral, der Integralsinus und -cosinus, die Fehlerfunktion und beide Fresnelschen Integrale.
Als die für die praktische Handhabung geeignetste Definition des Fehlerintegrals werden die drei folgenden Formeln betrachtet: \[ \mathrm{Erf}(z) = \int_0^z e^{-t^2}\, dt, \quad \mathrm{Erf}\,c(z) = \int_z^\infty e^{-t^2}\,dt, \quad \mathrm{Erf}\,i(z) = \int_0^z e^{+t^2}\, dt. \]
Das 10. Kap. berichtet über orthogonale Polynome. Nach Angabe der allgemeinen Eigenschaften und der wichtigsten Satze für solche Polynome werden davon Anwendungen auf die klassischen orthogonalen Polynome gemacht (Polynome von Legendre, Gegenbauer, Jacobi, Tschebyscheff, Hermite und Laguerre). Es werden behandelt das asymptotische Verhalten dieser Polynome, die Nullstellen und die sie erzeugenden Funktionen, die für diese gültigen Ungleichungen für Zwecke der Abschätzung und Beispiele für Reihenentwicklungen mit diesen Polynomen. Es werden noch die Charlierschen Polynome erwähnt und die neuerdings von F. Pollaczek in die Analysis eingeführten Polynome, die ebenfalls orthogonal sind, sonst aber ein von den klassischen Polynomen abweichendes Verhalten zeigen.
Kap. 11 beschäftigt sich mit den Eigenschaften der sphärischen und hypersphärischen harmonischen Polynome. Praktische Beispiele von solchen Polynomen sind die flächenharmonischen auf der Einheitskugel und die Maxwellschen Polfunktionen, die durch fortgesetzte Differentiation von \(1/r\) nach den einzelnen. Koordinaten entstehen. Auch die Polynome von Hermite–Kampe de Fériet werden berücksichtigt.
Kap. 12 behandelt die allgemeinen Eigenschaften der orthogonalen Polynome mit mehreren Variablen und die dabei benutzten Definitionen. Ein breiter Raum ist den Dreieckspolypomen Appells und den Hermiteschen Polynomen gewidmet.
Das letzte 13. Kap. befaßt sich mit den elliptischen Integralen und Funktionen. Der erste Teil enthält allgemeine Angaben über die wichtigsten Eigenschaften der elliptischen Integrale, die eigentlichen Umrechnungsformeln auf Normalformen (in zwei übersichtlichen Tabellen), Reihenentwicklungen für die drei elliptischen Normalintegrale Legendres und die Formeln für die Definition und Integration der Normalintegrale nach dem Modul. Zwei weitere Tabellen enthalten die Umrechnungsformeln für die vollständigen elliptischen Integrale gegenüber Transformation des Moduls.
Der 2. Teil behandelt die Umkehrung der elliptischen Integrale in Gestalt der Jacobischen und der Weierstraßschen elliptischen Funktionen und den zugehörigen Formelapparat: die verschiedenen Eigenschaften der Funktionen, die Entartungsformeln, die Additionstheoreme, Größe der Perioden, Lage der Pole und Nullstellen, die Residuenwerte usw., die Funktionswerte von \(sn\), \(en\), \(dn\) in den Punkten \(tfrac12 mK + tfrac12 nK'\cdot i\) (in zwei übersichtlichen Tabellen). Die \(Z\)-Funktion Jacobis wird in diesem Zusammenhang ebenfalls gebracht, aber ohne eine entsprechend weitgehende Parallelführung des zu dieser Funktion gehörenden Formelmaterials zu den Formeln der drei Funktionen \(sn\), \(en\), \(dn\). Es folgen dann die Thetafunktion mit ihrem ebenfalls sehr umfangreichen Formelmaterial, die dazugehörigen linearen und quadratischen Transformationsgleichungen, ein kurzer Abschnitt über die elliptischen Modulfunktionen und die durch die elliptischen Funktionen geleisteten konformen Abbildungen.
Ein 14. Kapitel, ausschließlich über Modulfunktionen, wird im 3. Band dieses Standardwerkes gebracht werden.
Jedes Kapitel weist am Ende ein ausführliches Verzeichnis der einschlägigen Arbeiten auf. Am Schluß des ganzen Bandes findet sich ein ins einzelne gehendes Sachverzeichnis und eine Zusammenstellung der in dem Buch benutzten mathematischen Symbole.

MSC:
33-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to special functions