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Leçons de logique algébrique. (French) Zbl 0048.00201
Collection de Logique Mathématique. Sér. A. II. Paris: Gauthier-Villars, Louvain: E. Nauwelaerts. 163 p. (1952).
Fortsetzung von ,,A theory of formal deducibility” [Notre Dame Mathematical Lectures. 6. Indiana: Notre Dame(1950; Zbl 0041.34807)], nach einer 1950/51 in Löwen (Leuven) gehaltenen Vorlesung.
Kapitel I. Formale Systeme.
Man geht aus von einer rekursiven Klasse von Dingen (,,obs”), für welche Operationen erklärt und Prädikate definiert sind (Beispiel: Die obs sind \(0, 0', 0'',\dots\); eine Operation \('\); Prädikat der Identität zwischen obs). Mit diesen Hilfsmitteln erhält man die elementaren Aussagen, die eine entscheidbare Klasse bilden, und die rekursiv aufzählbare Teilklasse der elementaren Sätze mit Hilfe von Axiomen und entscheidbaren Regeln. Zu den brauchbaren Systemen (s. s acceptables) gehören insbesondere diejenigen, die eine intuitive Interpretation der obs und Prädikate besitzen. Jedes formale System läßt sich überführen in ein logistisches System, d. h. in ein System mit nur einem einstelligen Prädikat (nach Frege wiedergegeben. durch ,,\(\vdash\)”), indem man die Prädikate des ursprünglichen Systems durch neue Operationen ersetzt.
II. Eingehende Diskussion der verschiedenen Bedeutungen des Wortes ,,Variable”.
Im Gegensatz zu einem Kalkül wird ein formales System mit freien, ohne gebundene Variable eine Algebra genannt. Eine algèbre relationnelle hat eine fundamentale reflexive und transitive Relation. Durch Übergang zu einem logistischen System erhält man eine logistische Algebra.
Beispiele, vor allem Verbände, deren Theorie in III entwickelt wird, ausgehend vom Begriff der logischen Gruppe mit den Grundbegriffen \(\leq\) und \(\cdot\) und den Axiomen \(ab \leq a\), \(ab\leq b\), \(x\leq a \& x\leq b \longrightarrow x\leq ab\). Insbesondere Entscheidbarkeit in distributiven Verbänden.
In IV werden eingehend studiert die implikativen Verbände, die eine zusätzliche Operation \(\supset\) besitzen, welche den Gesetzen \(a \wedge (a \supset b) \leq b\) und \(ax\leq b\longrightarrow x\leq a\supset b\) genügt. (Dual sind die ,,subtraktiven Verbände”.) Es folgt das distributive Gesetz. Beim Übergang zur logistischen Form erhält man die natürlichen Gentzenschen Regeln, für deren Anwendung ein bequemes Schema angegeben wird. Diese Regeln liefern ein System \(TA\), die absolute Aussagenalgebra. Es wird eine äquivalente Form \(HA\) angegeben, die nur die Abtrennungsregel benutzt. Von den elementaren Aussagen eines formalen Systems \(S\) ausgehend, erhalten wir zusammengesetzte Aussagen, und man kann z. B. im einfachsten Falle \(a\supset b\) jetzt definieren als die Aussage, die besagt, daß man \(b\) aus \(S\) einschließlich des neuen Axioms \(a\) deduzieren kann. Dies kann man symbolisieren durch \(a \Vdash b\), und entsprechend allgemein \(a_1,\dots, a_2 \Vdash b\) erklären. Die resultierende (im wesentlichen auf Gentzen zurückgehende) Regel für die Einführung der Verknüpfungen werden angegeben; sie definieren ein System \(LA(S)\).
Die klassische matrizenlogische Interpretation der aussagenlogischen Verknüpfungen führt zu einem subtraktiven Verband, in dem zusätzlich das Axiom \(b\wedge (a - b) = 0\) gilt. Es wird ausführlich auf die Übereinstimmung dieser Verbände mit den Booleschen Algebren eingegangen.
V. Sei \(T: 1\leq a v \neg a\), \(R: \neg a \equiv a\supset f\), \(A: \neg a\equiv a\supset 0\); man unterscheidet eine minimale \((R)\), intuitionistische \((A)\), strikte \((R, T)\) und klassische \((A, T)\) Negation. Es wird insbesondere bewiesen der Satz von Glivenko, daß \(\vdash a\) strikt (klassisch) genau dann gilt, wenn \(\neg a \leq a\) minimal (intuitionistisch) gültig ist. Ausführliche Diskussion der Booleschen Algebren.
VI. Verf. nannte eine Algebra \(A\) sekundär über der primären logischen Algebra \(S\), wenn die zusammengesetzten Aussagen (vgl. IV.) von \(S\) (oder ein Teil davon) elementare Aussagen von \(A\) sind. Beispiele. Traditionelle Logik. Modale Algebren. Mehrwertige Matrizen. Relationenalgebra.
Anhang: Die Notation von Łukasiewicz. Kombinatorische Logik.
Reviewer: H. Hermes

MSC:
03-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to mathematical logic and foundations
Keywords:
algebraic logic