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On the class number of abelian number fields. (Über die Klassenzahl Abelscher Zahlkörper.) (German) Zbl 0046.26003
Mathematische Lehrbücher und Monographien. Band I. Berlin: Akademie-Verlag. ix, 190 pp. (1952).
Die Klassenkörpertheorie, die die Entwicklung der Theorie der relativ-abelschen Zahlkörper zu voller Allgemeinheit und Durchsichtigkeit ermöglicht hat, subsummiert prinzipiell als ihre Spezialfälle fast ohne Ausnahme die Theorie der algebraischen Zahlkörper aller derjenigen speziellen Typen, welche in der vorklassenkörpertheoretischen Epoche das Interesse des Zahlentheoretikers erregte. Doch von der bis in alle Einzelheiten durchdringenden, auch mit der Aktivität der Durchführung der Zahlenbeispiele versehenen Beherrschung solcher speziellen Zahlkörper sind wir heute allerdings, bis auf den quadratischen Fall, weit entfernt. Verf. erblickt hierin einen wesentlichen Mangel der heutigen Entwicklungslage der Zahlentheorie und greift die absolut-abelschen Zahlkörper, insbesondere ihre Klassenzahl, erneut auf.
Es sei \(K\) ein beliebiger absolut-abelscher Zahlkorper, welcher der Kongruenzklassengruppe \(H\) mit dem Führer \(\mathfrak f\) zugeordnet ist, und sei \(K_0\) sein größter reeller Teilkörper. Der Quotient \(h^* = h/h_0\) der Klassenzahlen \(h\) von \(K\) und \(h_0\) von \(K_0\) wird Relativklassenzahl von \(K/K_0\) genannt. Verf. bietet dann zuerst die Klassenzahlformel in der folgenden abgerundeten, sinngemäßen Form dar:
\[ h_0 R_0 = \prod_{\chi_0\ne 1} \sum_{\pm x\bmod \mathfrak f(\chi_0)} (-\chi_0(x) \log\vert 1- \zeta_{\mathfrak f(\chi_0)}^*\vert), \tag{1} \]
\[ h^* = \frac{h}{h_0} = Q\,w\,\prod_{\chi_1} (2 \mathfrak f(\chi_1))^{-1} \sum_{x\bmod \mathfrak f(\chi_1)}\!\!\!\!\!{}^+ \ (-\chi_1(x)x). \tag{2} \]
Dabei sind \(\chi\) die Charaktere der Kongruenzklassengruppe nach \(H\) mit dem Führer \(\mathfrak f(\chi)\), von denen \(\chi_0(-1) = 1\) und \(\chi_1(-1) = -1\) sind. Es bedeute \(\zeta_m\), ebenso wie im folgenden, die \(m\)-te Einheitswurzel mit kleinstem positiven Argument; \(\displaystyle\sum_{\pm x\bmod m}\) die Summation über irgendein primes Halbsystem \(x \bmod m\) und \(\displaystyle\sum_{\pm x\bmod m}\!\!\!\!\!{}^+\) die über das kleinste positive prime Restsystem \(x \bmod m\). \(Q = [\varepsilon: \zeta\varepsilon_0]\), wo \(\varepsilon\), \(\varepsilon_0\) die Einheiten von \(K\) bzw. \(K_0\) und \(\zeta\) die Einheitswurzeln aus \(K\) sind. \(R_0\) bedeutet den Regulator von \(K_0\); \(w\) die Anzahl der Einheitswurzeln in \(K\).
Des Verf. Untersuchung besteht wesentlich darin, daß er die Umformung dieser Formeln soweit ausführt, daß man einmal den in dieser Formel verborgenen, arithmetischen Sinn möglichst klar gewahren kann und dann die numerische Ausrechnung der Relativklassenzahlen \(h^*\) moglichst schnell vollziehen kann.
Für reelle abelsche Körper \(K = K_0\) liefert die Formel (1) die Klassenzahl \(h = h_0\), von \(K\). Es sei \(g_K = \prod_{p\mid d} n_p\), wenn für jeden Primteiler \(p\) der Diskriminante \(d\) von \(K\) \(p\cong \mathfrak p^{n/n_p}\) gilt, sonst sei \(g_K = 0\). Dann gilt der Satz:
\(g_K\, h\, R\) ist gleich dem Regulator \(R(\eta_S)\) des Systems der „Kreiseinheiten \(\eta_S\) von \(K\)“. Dabei ist
\[ \eta_S = \prod_{\substack{\pm a\bmod\mathfrak f \\ a\in H}} \frac{\zeta_{2\mathfrak f}^a - \zeta_{2\mathfrak f}^{-a}} {\zeta_{2\mathfrak f}^{sa} - \zeta_{2\mathfrak f}^{-sa}}, \]
wo \((s, 2\mathfrak f )= 1\) und \(S\) der durch die Substitution \(\zeta_{2\mathfrak f}\to \zeta_{2\mathfrak f}^0\) im Teilkörper \(K\) von \(P_{2\mathfrak f}= P(\zeta_{2\mathfrak f})\) induzierte Automorphismus ist. Unter den Folgerungen aus diesem Satz interessiert insbesondere die Verallgemeinerung und der durchsichtige Beweis des Satzes von Weber, der besagt, daß die Klassenzahl der größten reellen Teilkörper der Kreiskörper \(P_{2^\rho}\), ungerade ist.
Für reelle \(K\) gibt Verf. noch eine andere Umformung von (1) und erhält insbesondere den Satz:
Die Klassenzahl eines beliebigen reellen zyklischen Körpers ist gleich dem Index der aus gewissen Kreiseinheiten erzeugten Gruppe.
Bei dieser Umformung bedient Verf. sich einer auch an sich interessanten verallgemeinerten Gruppenmatrix und ihrer Linearfaktorzerlegung. Wenn man den arithmetischen Sinn der obigen, in Klassenzahl und Einheitenindex steckenden wunderschönen Satze des Verfs. vollständig erschöpfen konnte, so würde das geheimnisvolle Problem über die Beziehung zwischen Divisorenklassen- und Einheitengruppe erhellt werden.
Für die imaginären abelschen Zahlkörper \(K\) beginnt Verf. mit dem klassenkörpertheoretischen Nachweis der Ganzzahligkeit der Relativklassenzahl \(h^* = h/h_0\) und wendet sich der Untersuchung relativquadratischer Körper \(K/K_0\) zu. Dabei ergibt sich, daß die Zahl \(h^*\) die Ordnung der Gruppe \(H^*\) derjenigen Klassen von \(K\) ist, deren Relativnormen in die Hauptklasse von \(K_0\) fallen, und daß \(h^*\) durch den Index \(2^\gamma\) des Hauptgeschlechts in der Gruppe \(H^*\) teilbar ist.
Dann gibt Verf. zur Untersuchung des Einheitenindex \(Q\) in der Formel (2) einen verhaltnismäßig größeren Raum. Es ergibt sich leicht, daß dann und nur dann \(Q=2\), sonst \(Q=1\), ist, wenn \(2^\omega\mid\mid w\), \(K' = K\cdot P_{2^{\omega+1}} K'_0 = K_0(\sqrt{\varepsilon})\) mit einer Einheit \(\varepsilon\) aus \(K_0\) ist. Dies Kriterium läßt sich endgültig durch die Eigenschaft der Führer der Charaktere der Gruppe nach \(H\) ausdrücken. Der Beweisgang ist zahlentheoretisch höchst interessant, weil darin die inneren Verhältnisse der Verzweigung der Diskriminantenprimteiler und der Verlagerung der Divisoren hineintreten, was für die Relativbetrachtung der Einheiten wesentlich ist. Aus dem obigen Charakterenkriterium ergibt sich z. B., daß für imaginäre abelsche Zahlkörper vom Primzahlpotenzführer oder für imaginäre zyklische Körper \(Q = 1\) ist.
Verf. gibt dann auch einen direkten Ganzheitsbeweis von \(h^*\). Dazu wird die Frobeniussche Abteilung der Charaktere \(\chi_1\) gebraucht. Es durchlaufe nämlich \(\psi\) ein Vertretersystem der Abteilungen der \(\chi_1\) und bezeichne \(N_\psi\) die Normbildung im Kreiskörper, dem \(\psi\) angehört. Dann ergibt sich
\[ h^* = Q\,w \prod_{\psi} N_\psi(\Theta(\psi)), \]
\[ \Theta(\psi) = \frac12 \sum_{\pm x\bmod \mathfrak f(\psi)}\!\!\!\!\!{}^+ \ \psi(x) + \frac{1}{\mathfrak f(\psi)} \sum_{\pm x\bmod \mathfrak f(\psi)}\!\!\!\!\!{}^+ \ (-\psi(x)x). \]
Diese Formel wird auch zur wirklichen Berechnung von \(h^*\) benutzt. Zum Ganzheitsbeweis von \(h^*\) kommt es nur auf die formalen Nenner \(2\) und \(\mathfrak f(\psi)\) an. Indem Verf., von der Fallunterscheidung der Charaktere \(\psi\) durch seinen Führer und seine Ordnung geleitet, die Beiträge zu \(h^*\) aus einzelnem \(\psi\) näher untersucht, gelangt er zu seinem Ziel. Der beim Beweisgang auftretende, dem Gaußschen Lemma aus der Theorie der quadratischen Reste ähnliche Hilfssatz ist an sich sehr interessant. Er besagt nämlich:
Für eine natürliche Zahl \(m\ne 1, 2\) und eine nicht in \(m\) aufgehende Primzahl \(p\ne 2\) sei \(N\) die Anzahl der Lösungen von \(x/m < y/p\) mit \(x, y\) aus den kleinsten positiven primen Halbsystemen \(\bmod. m, p\). Ist \(m\) zusammengesetzt, so ist \(N\) gerade. Ist \(m = q^p\) Primzahlpotenz, so ist \((-1)^N = \left(\frac{q}{p}\right)\).
Der Rest der Arbeit ist der Untersuchung der Kreiskörper \(P_{2^\rho}\), \(P_{3^\rho}\) und ihrer größten reellen Teilkörper, der Teilbarkeitseigenschaft der Relativklassenzahlen der Teilkörper, sowie der Klassenzahlen imaginärer abelscher Zahlkörper usw. gewidmet.
Das Buch enthält als Anhang eine Tafel der Relativklassenzahlbeiträge \(N_\psi(\Theta(\psi))\) für alle Charaktere \(\psi\) mit \(\psi(-1) = -1\), deren Führer \(\le 100\) sind, und eine Tafel der Relativklassenzahlen \(h^*\) von \(K/K_0\) mit Hasseschen Diagrammen der Teilkörper von \(K\) für alle absolut-abelsche Zahlkörper mit Führern \(\le 100\). Diese Tafeln werden sicherlich ein unentbehrliches Hilfsmittel für nach Auffindung neuer Gesetzlichkeit auf experimentellem Wege strebende Zahlentheoretiker liefern.
Auf diese Weise ist der größte Teil der von Kummer und Weber nur in den Spezialfällen der Kreiskörper \(P_p\) erreichten Leistungen verallgemeinert zur Theorie der beliebigen absolut-abelschen Zahlkörper. Dieselbe liegt nun, wie die Theorie der quadratischen Zahlkörper, mit ihren tieferen Einzelheiten vor uns.
Dies Buch macht für künftige Forscher ein harmonisches Trio mit dem Hilbertschen Zahlbericht und des Verf. Klassenkörperbericht aus.
Reviewer: S. Kuroda

MSC:
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R20 Other abelian and metabelian extensions
11R18 Cyclotomic extensions
11R37 Class field theory