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Functional analysis in partially ordered spaces. (Функционал’ныи анализ в полуупорядоченных пространствах.) (Russian) Zbl 0037.07201
Moskva-Leningrad: Gosudarstv. Izdat. Tekhn.-Teor. Lit. 548 p. (1950).
Le but de ce livre est l’étude des espaces de Kantorovitch; ce sont des espaces vectoriels réels, munis d’une relation d’ordre \(x\le y\) telle que les axiomes suivants soient vérifiés:
a) cette relation est compatible avec la structure vectorielle de l’espace donné \(X\);
b) tout ensemble fini \(E\subset X\) est borné supérieurement dans \(X\);
c) toute partie \(E\) de \(X\) (finie ou non) qui est bornée supérieurement dans \(X\) possède une borne supérieure “exacte” dans \(X\).
Dès les premières définitions apparait donc le caractère restrictif de cette notion: il est en effet clair que, par exemple, l’espace des fonctions continues réelles sur un espace topologique vérifie a) et b); mais non c)!
L’ouvrage est divisé en 13 Chapitres; il est évidemment impossible de résumer ici le contenu de ce livre; disons seulement que les principales questions traitées sont les suivantes:
a) règles de calcul sur les \(\sup\) et les \(\inf\); décomposition d’un espace de Kantorovitch en somme directe de sous-espaces; relations avec la théorie des algèbres de Boole. b) suites convergentes dans un espace de Kantorovitch; théorème de Freudenthal sur la “décomposition spectrale” \(\displaystyle x = \int_{-\infty}^{+\infty} \lambda \cdot de_\lambda^x\) de tout élément d’un tel espace; applications linéaires positives d’un tel espace dans un autre, leurs propriétés de continuité, leur représentation intégrale à l’aide du théorème de Freudenthal; problèmes liés à l’extension des applications positives; convergence des suites de telles applications.
c) dual d’un espace de Kantorovitch [c’est l’espace des formes linéaires \(f\) qui vérifient la condition suivante pour toute famille totalement ordonnée \((x_\alpha)\) d’éléments de l’espace, vérifiant \(\inf_\alpha (x_\alpha) = 0\), on a \(\lim f(x_\alpha) = 0]\), conditions pour que ce dual soit suffisamment grand, cas des espaces normés.
d) réalisation concrète des algèbres de Boole, et des espaces de Kantorovitch, au moyen de familles d’ensembles, ou de fonctions continues sur des espaces compacts totalement discontinus, ou de fonctions sommables pour une mesure de Radon, etc. ….
Comme on le sait, la théorie des espaces ordonnés a fait l’objet en 1940 d’un exposé de F. Riesz [Ann. Math. (2) 41, 174–206 (1940; Zbl 0022.31802)]; le rapporteur estime que, si l’on met à part les résultats dont nous venons de parler en d) (et qui n’occupent, dans le livre en question, que les pages 493 à 532), ce mémoire contient l’essentiel de ce qu’il faut savoir sur ces espaces.
Au lieu de cela, les AA. nous offrent des centaines de pages de raisonnements abstraits; un bon nombre d’entre eux sont immédiats, ou le seraient si l’on pouvait utiliser la réalisation concrète des espaces de Kantorovitch (réalisation qui n’est exposée qu’à titre de “supplément” à l’ouvrage …); et finalement, on s’aperçoit que trois des principales applications de la théorie sont passées sous silence, à savoir le théorème de Lebesgue-Nikodym, la décomposition spectrale des opérateurs hermitiens dans les espaces de Hilbert, et la théorie des fonctions de type positif sur les groupes abéliens.
Il est sans doute superflu de dire que, dans ces conditions, la lecture de cet ouvrage donne une impression plutôt pénible, et risque fort de précipiter les lecteurs inexpérimentés dans une “hyperbourbakisation” stérile; danger qui se confirme quand on constate que la plupart des applications exposées (problèmes des moments, opérations linéaires dans les espaces \(L^p\), etc. …) sont relatives à la droite, et présentent donc un degré d’abstraction comparativement négligeable, en sorte que le livre est, en principe, accessible à des lecteurs n’ayant qu’une très faible culture. Bien entendu, ce que nous disons là est hypothétique, et peut-être le “lecteur inexpérimenté” aura-t-il une réaction totalement opposée à celle que nous prévoyons …. Ce serait fâcheux; car en définitive la théorie des espaces ordonnés a quelque utilité; et il lui arrive parfois d’être belle – c’est ce dont on trouvera une démonstration magistrale dans le mémoire de F. Riesz dont nous avons parlé ci-dessus.

MSC:
46-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functional analysis
46A40 Ordered topological linear spaces, vector lattices