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Minimal solutions of diophantine equations. (English) Zbl 0037.02602
Verf. beweist folgenden Satz: Wenn \(a, b, c\) ganze, quadratfreie, paarweise teilerfremde Zahlen sind, und wenn \(ab\) quadratischer Rest von \(c\), \(ac\) quadratischer Rest von \(b\) und \(bc\) quadratischer Rest von \(a\) ist, dann hat die diophantische Gleichung \(ax^2 + by^2 = cz^2\) nichttriviale Lösungen mit \(\vert x\vert < \sqrt{bc}\), \(\vert y\vert < \sqrt{ca}\), \(\vert z\vert < \sqrt{ab}\).
Der Beweis beruht u. a. auf dem folgenden Resultat von E. Hecke [Math. Z. 1, 357–376 (1918; JFM 46.0258.01), p. 375; 6, 11–51 (1920; JFM 47.0152.01), p. 38]; siehe auch H. Hasse [Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 35, 1–55 (1926; JFM 52.0150.19), p. 32]: Es sei in einem algebraischen Zahlkörper \(j\) ein ganzes Ideal und \(\alpha\) eine zu \(j\) prime ganze Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primideale \((\pi)\) vom ersten Grade, so daß \(\pi\equiv \alpha \pmod j\).

MSC:
11D09 Quadratic and bilinear Diophantine equations
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