On the expression of \(L\)-series by means of the \(\zeta\)-function. (Über einen Ausdruck der \(L\)-Reihen durch die \(\zeta\)-Funktion.) (Russian) Zbl 0034.02501

Linnik, Yu. V.

Dokl. Akad. Nauk SSSR, n. Ser. 57, 435-437 (1947).

Für eine in einer Halbebene \(\operatorname{Re}(\omega) > k_0\) konvergente Dirichletreihe \(A(\omega) = \sum a_n n^{-\omega}\) und die zugeordnete Reihe \(A(\omega, \chi) = \sum a_n \chi(n) n^{-\omega}\) ergibt sich durch die Mellintransformation die Beziehung
\[ \begin{aligned} e^{-2\pi im/D} A (s, \chi, N) &= \sum a_n n^{-s} e^{-n/N} e^{-2\pi im/D} \\ &= \frac1{2\pi i} \int A(\omega + s) \Gamma(\omega) \left(\frac1N + \frac{2\pi im}{D}\right)^{-\omega}\, d\omega \end{aligned}\]
mit geeignet gewähltem Integrationsweg. Eine bekannte Formel für Charaktere führt zu
\[ \begin{aligned} 2\pi i \sqrt{D} A(s, \chi, N) &= \int A(\omega + s) \Gamma(\omega) \varepsilon(\chi) \sum_{m=0}^{D-1} \bar{\chi}(-m) y(N,m)^{-\omega}\,d\omega; \\ y &= N^{-1} + D^{-1} 2\pi im. \end{aligned} \]
Der Grenzübergang \(N\to\infty\) führt mit \(A(\omega) = \zeta(\omega)\) und \(A(\omega, \chi) = L(\omega, \chi)\) zu dem im Titel erwähnten Ausdruck.
Folgendes wichtige Resultat wird daraus mit \(A(\omega) = -\zeta':\zeta\) behauptet:
Notwendig und hinreichend für die Nullstellenfreiheit von \(\zeta(s)\) für \(\sigma\ge 1 - \eta_0\) \((\eta_0<\tfrac14)\) ist die Gültigkeit von
\[ \sum_{p=2}^\infty \exp \left(2\pi i \sqrt[m]{p}\right) \exp \left(-\sqrt[m]{p/N}\right) \ll N^{1 - 1/M - \eta_0/M - \varepsilon}\quad (m > C_0). \]

Reviewer: G. Hoheisel (Köln)

MSC:

11M06

\(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)

Keywords:

L-series; zeta function