A prime-representing function. (English) Zbl 0033.16303

Mills, W. H.

Bull. Am. Math. Soc. 53, 604 (1947).

Verf. beweist, daß es eine reelle Zahl \(A\) \((> 1)\) gibt mit der Eigenschaft, daß \([A^{3^n}]\) für jedes \(n = 1, 2, \ldots\) einer Primzahl gleich ist. Da der Beweis sehr einfach ist, und da es in der Arbeit einige störende Druckfehler gibt (statt \(3^{-n}\) ist konsequent \(3 - n\) geschrieben), geben wir den Beweis wieder:
Es sei \(q\) eine reelle Zahl mit der Eigenschaft, daß es für \(N\ge N_0\), zwischen \(N^q\) und \((N + 1)^q - 1\) immer mindestens eine Primzahl gibt. Es sei \(P_0\) eine Primzahl \(\ge N_0\); von \(P_0\) ausgehend konstruieren wir eine Folge von Primzahlen \(P_0, P_1, \ldots, P_n, \ldots\), die den Ungleichungen \(P_n^q < P_{n+1}< (P_n +1)^q - 1\) genügen \((n = 0, 1, \ldots)\). Setzen wir \(u_n = P_n^{q-n}\) und \(v_n = (P_n + 1)^{q^{-n}}\), so ist \(u_n< u_{n+1}< v_{n +1}< v_n\) und \(v_n/u_n\to 1\) für \(n\to\infty\); somit existiert \(\lim_{n\to\infty} u_n = \lim_{n\to\infty} v_n = A\), und es ist für jedes \(n > 0\) \(u_n < A < v_n\), d. h. \(P_n < A^{q^n} < P_n + 1\) und damit \([A^{q^n}] = P_n\) eine Primzahl. Da nach einem Satze von A. E. Ingham [Q. J. Math., Oxf. Ser. 8, 255–266 (1937; Zbl 0017.38904)] \(q = 3\) gewählt werden kann, ist alles bewiesen.
(Bemerkung des Ref.: Zwischen \(N^3\) und \((N+1)^3 -1\) gibt es für \(N\ge N_0\) mindestens zwei Primzahlen, und so hat man bei der Wahl von \(P_{n+1}\) mindestens zwei Möglichkeiten für \(n = 1, 2,\ldots\); damit ist die Existenz einer Menge von der Mächtigkeit des Kontinuums von reellen Zahlen \(A\) mit der obengenannten Eigenschaft bewiesen.)

Reviewer: A. Rényi (Budapest)

MSC:

11N32

Primes represented by polynomials; other multiplicative structures of polynomial values

Keywords:

prime-representing function