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Representations of lattices by sets. (English) Zbl 0032.00504
Mit Hilfe einer Erweiterung des Tukeyschen Begriffes ,,Eigenschaften von finitem Charakter” [J. W. Tukey, Convergence and uniformity in topology. Princeton: University Press (1940; Zbl 0025.09102)] beweisen die Verff. im ersten Teil der Arbeit: Ein abstrakter Verband \(L\) ist isomorph zu dem Verband \(A\) aller Unteralgebren einer abstrakten Algebra mit finiten Operationen dann und nur dann, wenn \(L\):
1. ein Vollverband ist;
2. die Bedingung ,,aus \(x_\alpha \uparrow x\) und \(y_\beta \uparrow y\) folgt \((x_\alpha\cap y_\beta) \uparrow (x \cap y)\) für beliebige, gerichtete Indizesmengen \((\alpha) (\beta)\)” erfüllt und
3. jedes Element von \(L\) die Vereinigung von t-unerreichbaren Elementen ist.
In Verbänden mit diesen drei Eigenschaften ist jedes Element ein Durchschnitt von \(\cap\)-vollreduziblen Elementen. Insbesondere ist \(L\) isomorph zum Verband aller Ideale eines abzählbaren Verbandes \(A\) dann und nur dann, wenn außer 1., 2., 3. noch gilt: ,,die \(\uparrow\)-unerreichbaren Elemente bilden einen Verband”.
Im zweiten Teil der Arbeit behandeln Verff. die Darstellungen von Verbänden durch Mengen von dualen Idealen, d. h. Idealen, die in einem Verband dual zu den gewöhnlichen Idealen erklärt werden. Jede Gesamtheit \(K\) von dualen Idealen eines Verbandes \(L\) bestimmt eine \(\cap\)-Darstellung von \(L\) [d. h. eine \(\cap\)-homomorphe Abbidung \(x\to R(x)\) zwischen den Elementen \(x\in L\) und Mengen \(R(x)\) von dualen Idealen]. Diese Darstellung ist isomorph dann und nur dann, wenn für jedes Paar \(x, y\in L\) mit \(x\neq y\) ein duales Ideal in \(K\) existiert, das mindestens ein, aber nicht gleichzeitig beide \(x, y\) enthält. Isomorphe \(\cap\)-Darstellungen von \(L\) erhält man, wenn man jedem \(x\in L\) die Gesamtheit aller dualen Ideale (bzw. dualen Hauptideale), die \(x\) enthalten, zuordnet. Wünscht man, daß bei diesen isomorphen \(\cap\)-Darstellungen möglichst wenige duale Ideale umfassende Gesamtheiten vorkommen, so ordnet man jedem \(x\in L\) die Menge aller \(\cap\)-vollirreduziblen (bzw. \(\cap\)-irreduziblen) dualen Ideale von \(L\) zu, die \(x\) enthalten. Eine Darstellung durch duale Primideale hat den Vorteil, daß sie gleichzeitig \(\cap\)- und \(\cup\)-Darstellung ist, sie ist aber nicht isomorph, wenn der Verband nicht distributiv ist. In einem distributivem Verband nämlich sind duale Primideale und irreduzible Ideale identische Begriffe. Darstellungen durch \(\cap\)- (bzw. \(\cap\)-voll-)-irreduzible Ideale sind daher bei distributiven Verbänden identisch mit den bekannten Darstellungen von M. H. Stone [Čas. Mat. Fys. 67, 1–25 (1937; Zbl 0018.00303)] bzw. von G. Birkhoff [Proc. Camb. Philos. Soc. 29, 441–464 (1933; Zbl 0007.39502); JFM 59.0154.02), auch Bull. Am. Math. Soc. 50, 764–768 (1944; Zbl 0060.05809)] durch Primideale (oder, was gleichwertig, durch duale Primideale). In manchen Verbänden kann man isomorphe \(\cap\)-Darstellungen durch maximale duale Ideale erreichen. In Booleschen Verbänden, wo Prim- und Maximal-Ideale identische Begriffe sind, ist dies immer möglich. O. Frink [Trans. Am. Math. Soc. 60, 452–467 (1946; Zbl 0060.05811)] zeigte, daß dies auch bei jedem komplementären modularen Verband der Fall ist. Verff. zeigen nun, daß dies auch bei jedem Verband, der die Wallmansche Disjunktionseigenschaft [H. Waliman, Ann. Math. (2) 39, 112–126 (1938; Zbl 0018.33202)] erfüllt, gilt.
Zu bemerken ist, daß in einem solchen Verband nicht immer ein jedes \(\cap\)-irreduzibles Ideal maximal ist, wie Verff. durch ein Beispiel belegen. Während die Frage der Erhaltung von Durchschnitten beliebig vieler Elemente bei Darstellungen von Verbänden teilweise von Verff. beantwortet ist, entstehen im Falle von Vereinigungen unendlich vieler Elemente mehr Schwierigkeiten. In beiden Fällen bleiben immer noch offene Fragen, wie z. B. die Möglichkeit, isomorphe Darstellungen zu bestimmen, bei welchen Durchschnitte und Vereinigungen von abzählbar unendlich vielen Elementen erhalten bleiben, falls solche im Verband existieren. Speziell für die Boolesche Algebra \(M/N\) von meßbaren Mengen mod. Nullmengen ist diese Frage negativ beantwortet [L. H. Loomis, Bull. Am. Math. Soc. 53, 757–760 (1947; Zbl 0033.01103)].
Schließlich werden von Verff. Darstellungen eines Verbandes durch Mengen von Elementen des Verbandes untersucht; solche Darstellungen existieren, wenn der Verband die absteigende Kettenbedingung erfüllt.

MSC:
06-XX Order, lattices, ordered algebraic structures
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References:
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