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On the number of roots and irreducible factors of a given congruence. (Sur le nombre des racines et des facteurs irréductibles d’une congruence donnée.) (French. Czech, German summaries) Zbl 0023.10702
Es sei gegeben (1) \(f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n\equiv 0\pmod p\) \((a_1, \ldots, a_n\) ganz rational, \(p\) positive Primzahl) mit der Diskriminante \(D\not \equiv 0\pmod p\). Zur Bestimmung der Anzahl \(r_1\) der Wurzeln von (1) wird neben die Sätze von König-Rados-Kronecker-Gegenbauer und von Hurwitz-Dickson-Cipolla der folgende dritte gestellt und auf zwei Arten bewiesen:
Man stellt \(D\) in der bekannten Form einer Determinante \(n\)-ter Ordnung \(D =| s_{i+k-2}|\) dar, wobei \(s_l\) \((l = 0,1,2, \ldots)\) die \(l\)-te Potenzsumme der (als Galoissche Imaginäre gedeuteten) Wurzeln von (1), also ein ganzer rationaler Ausdruck von \((a_1, \ldots, a_n)\) ist. Es wird noch mit \(D^{(m)}\) \((m= 0,1, \ldots, n-1)\) die Determinante bezeichnet, die aus \(D\) nach der Ersetzung der \(m+1\)-ten Zeile \(s_m, s_{m+1}, \ldots, s_{m+n-1}\) durch \(s_{mp}, s_{mp+1},\ldots, s_{mp+n-1}\) entsteht (insbesondere ist \(D^{(0)}=D)\). Dann ist
\[ r_1\equiv \frac 1D \left(D^{(0)}+ D^{(1)} + \ldots+ D^{(n-1)}\right) \pmod q. \]
Der Satz wird noch in einer zweiten ähnlichen Form gewonnen, in der auch die Anzahl \(v\) aller mod \(p\) irreduziblen Faktoren von (1) mitspielt. Weiter werden beide Sätze zur Bestimmung der Anzahl \(r_i\) \((i = 2, 3, \ldots)\) der mod \(p\) irreduziblen Faktoren \(i\)-ten Grades von (1) verallgemeinert (der Beweis nur für \(i=2\) ausgeführt). Durch Anwendungen ergeben sich die bekannten Sätze über quadratische, kubische und binomische Kongruenzen und der Satz von Pellet-Voronoi-Stickelberger \(\left({D\over r}\right)= (-1)^{n+v}\) über den allgemeinen Fall.

MSC:
11A07 Congruences; primitive roots; residue systems
11C08 Polynomials in number theory
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Full Text: EuDML