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Arithmetische Theorie der Korrespondenzen algebraischer Funktionenkörper. I. (German) Zbl 0016.34601

In einer Reihe von Arbeiten über abstrakte elliptische Funktionenkörper [Abh. Math. Semin. Hamb. Univ. 10, 325–348 (1934; Zbl 0011.19704); Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl. I, N. F. 1, 119–129 (1935; Zbl 0013.19701); J. Reine Angew. Math. 175, 55–62 (1936; Zbl 0014.14903); 175, 69–88 (1936; Zbl 0014.24901); 175, 193–208 (1936; Zbl 0014.24902)] hat Ref. gezeigt, daß die algebraischen Eigenschaften eines algebraischen Funktionenkörpers vom Geschlecht 1, die sich aus seiner Darstellung als Körper von doppeltperiodischen Funktionen ergeben, nicht auf den klassischen Fall des komplexen Zahlkörpers als Konstantenkörper beschränkt sind, sondern auch bei beliebigem algebraisch-abgeschlossenem Konstantenkörper zu finden sind. Verf. findet die Verallgemeinerung der Grundlagen dieser Theorie auf höheres Geschlecht \(g\) in einer rein algebraischen Theorie der Korrespondenzen algebraischer Funktionenkörper. Für den klassischen Fall lag eine solche Theorie bereits vor (s. etwa F. Severi [Trattato di geometria algebrica, vol. I, 1: Geometria delle serie lineari. Car. 6. Bologna: N. Zanichelli (1926; JFM 52.0650.01)]). Verf. entwickelt die Hauptsätze dieser Theorie für beliebigen algebraisch. abgeschlossenen Konstantenkörper k, und zwar mit den Mitteln der arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionenkörper.
Eine Korrespondenz eines algebraischen Funktionenkörpers \(K/k\) zu einem algebraischen Funktionenkörper \(\mathrm K/k\) wird vom Verf. folgendermaßen definiert:
Ist \(\mathfrak P\) ein Primdivisor der Konstantenerweiterung \(\mathrm KK/K\) von \(\mathrm K/k\), der nicht konstant ist, d. h. nicht durch Erweiterung aus einem Primdivisor von \(\mathrm K/k\) entspringt, so ist der Restklassenkörper mod \(\mathfrak P\) eine endlich-algebraische Erweiterung \(K^*\) von \(K\) und der homo-morphe Übergang von \(\mathrm KK\) zu den Restklassen mod \(\mathfrak P\) liefert für den Teilkörper \(\mathrm K\) einen Isomorphismus \(\pi\) auf einen Teilkörper \(K_0^* = \mathrm K^\pi\) von \(K^*\), über dem \(K^*\) endlich-algebraisch ist. Für jeden Divisor \(\mathfrak a\) von \(K/k\) wird dann \(\mathfrak P(\mathfrak a) = N_{K^*/K_0^*}(\mathfrak a)^{\pi^{-1}}\) gesetzt; das ist ein Divisor von \(\mathrm K/k\). Ist \(\mathfrak P\) konstant, aus dem Primdivisor \(wp\) von \(\mathrm K/k\) entspringend, so wird \(\mathfrak P(\mathfrak a) = \wp ^{\text{Grad }\mathfrak a}\) gesetzt. So ist jedem Primdivisor \(\mathfrak P\) von \(\mathrm KK/K\) in bestimmter Weise eine Funktion \(\mathfrak P(\mathfrak a)\) der Divisoren von \(K/k\) mit Divisoren von \(\mathrm K/k\) als Werten zugeordnet.
Für einen zusammengesetzten Divisor \(\mathfrak D\) von \(\mathrm KK/K\) wird die Funktion \(\mathfrak D(\mathfrak a)\) durch entsprechende multiplikative Zusammensetzung erklärt. Diese Funktionen \(\mathfrak D(\mathfrak a)\) heißen die Korrespondenzen von \(K/k\) zu \(\mathrm K/k\). Über sie gelten folgende Sätze:
Der Grad von \(\mathfrak D(\mathfrak a)\) ist das Produkt der Grade von \(\mathfrak D\) und \(\mathfrak a\). \(\mathfrak D(\mathfrak a)\) ist multiplikativ in \(\mathfrak a\), also ein Homomorphismus der Divisorengruppe von \(K/k\) in die von \(\mathrm K/k\). Aus \(\mathfrak a \backsim 1\) folgt \(\mathfrak D(\mathfrak a) \backsim 1\), d. h. \(\mathfrak D(\mathfrak a)\) liefert einen Homomorphismus der Klassengruppe von \(K/k\) in die von \(\mathrm K/k\) und auch einen solchen der Klassengruppe nullten Grades von \(K/k\) in die von \(\mathrm K/k\).
\(\mathfrak D(\mathfrak a)\) ist auch multiplikativ in \(\mathfrak D\). Es bezeichne \(\mathfrak D_0\) einen konstanten Divisor von \(\mathrm KK/K\), d. h. einen solchen, dessen sämtliche Primfaktoren konstant sind, und \(\mathfrak a_0\) einen Divisor nullten Grades von \(K/k\); dann gilt: \[ \left. \begin{aligned} &\text{aus } \mathfrak D = 1 &\quad \text{folgt }\mathfrak D(\mathfrak a) = 1 \text{ für alle } \mathfrak a \\ &\text{aus } \mathfrak D = \mathfrak D_0 &\quad \text{folgt } \mathfrak D(\mathfrak a_0) = 1 \text{ für alle } \mathfrak a_0 \\ &\text{aus } \mathfrak D \backsim 1 &\quad \text{folgt } \mathfrak D(\mathfrak a) \backsim 1 \text{ für alle } \mathfrak a \\ &\text{aus } \mathfrak D \backsim \mathfrak D_0 &\quad \text{folgt } \mathfrak D(\mathfrak a_0) \backsim 1 \text{ für alle } \mathfrak a_0 \end{aligned}\right\} \text{ und umgekehrt}. \]
Für die Umkehrungen genügt es, einen einzigen (zu einem von \(\mathfrak D\) abhängigen Divisor primen) Primdivisor \(\mathfrak p\) bzw. Primdivisorquotienten \(\frac{\mathfrak p}{\mathfrak p_\infty}\) statt aller Divisoren \(\mathfrak a\) bzw. \(\mathfrak a_0\) zugrunde zu legen. Nach den letzten beiden Tatsachen bilden die durch die Korrespondenzen gelieferten Homomorphismen der Klassengruppe von \(K/k\) (die Transformatoren von \(K/k\) in \(\mathrm K/k)\) einen zur Klassengruppe von \(\mathrm KK/K)\) isomorphen Modul, und die durch die Korrespondenzen gelieferten Homomorphismen der Klassengruppe nullten Grades von \(K/k\) (die Multiplikatoren von \(K/k\) in \(\mathrm K/k))\) einen zu einer gröberen Klassengruppe von \(\mathrm KK/K)\) isomorphen Modul; dabei ist die fragliche gröbere Klassengruppe durch Einbeziehung der konstanten Divisoren in die Hauptklasse gebildet.
Die Hintereinanderausführung einer Korrespondenz von \(K_1/k\) zu \(K_2/k\) und einer Korrespondenz von \(K_2/k\) zu \(K_3/k\) liefert stets wieder eine Korrespondenz von \(K_1/k\) zu \(K_3/k\). Identifiziert man \(\mathrm K\) mit \(K\), so wird so der Homomorphismenmodul der Transformatoren bzw. Multiplikatoren von \(K/k\) in sich ein Homomorphismenring. Verf. führt aus, wie sich diese beiden Ringe im klassischen Fall durch komplexe Multiplikationen der Riemannschen Periodenmatrix \(\Omega\) von \(K/k\) darstellen: Durchläuft \(\mathrm M\) alle \(g\)-reihigen komplexzahligen Matrizen mit der Eigenschaft \(\mathrm M\Omega = \Omega G\), wo \(G\) eine \(2g\)-reihige ganzzahlige Matrix ist, so ist der Multiplikatorenring isomorph zum Ring der Matrizen \(\mathrm M\) selber, und der Transformatorenring zum Ring der erweiterten Matrizen \(\begin{pmatrix} \mathrm M & \mathfrak t \\ 0 & m\end{pmatrix}\), wo \(m\) eine ganze Zahl und \(\mathfrak t\) eine \(g\)-gliedrige Zeile aus komplexen Zahlen ist, und zwar auf Grund der Beziehungen: \[ \begin{aligned} \mathfrak u(\mathfrak D(\mathfrak a)) &\equiv \mathrm M \cdot \mathfrak u(\mathfrak a) + \mathfrak t \cdot\text{Grad }\mathfrak a \pmod \Omega \\ \text{Grad }\mathfrak D(\mathfrak a) &= \qquad \qquad m \cdot \text{Grad } \mathfrak a, \end{aligned} \] wo \( \mathfrak u\) die \(g\)-gliedrige Spalte einer Basis der Integrale erster Gattung von \(K/k\) mit festen unteren Integrationsgrenzen in Abhängigkeit von den oberen Integrationsgrenzen bezeichnet.
Die Beweise für die oben angeführten Hauptsätze über Korrespondenzen, soweit sie nicht unmittelbar aus der Definition folgen, beruhen auf einem wichtigen Satz, den Verf. den Restidealsatz nennt. Dieser stellt die Identität des auf arithmetische Art definierten Korrespondenzbegriffs mit dem Korrespondenzbegriff der algebraischen Geometrie fest: Charakterisiert man die Divisoren durch die Moduln ihrer ganzen Multipla, so entsteht nach diesem Restidealsatz der Modul \(\mathfrak D(\mathfrak p)\) für fast alle Primdivisoren \(\mathfrak p\) durch Restbildung mod \(\mathfrak p\) aus den für \(\mathfrak p\) ganzen Elementen des Moduls \(\mathfrak D\), d. h. durch Einsetzung der konstanten Koordinaten des Punktes \(\mathfrak p\) für ein System \(K/k\) erzeugender Variabler.
Verf. geht schließlich auch noch auf Beziehungen und umgekehrt seiner Theorie zu der Hurwitz-Weylschen Korrespondenztheorie ein, in der die Korrespondenzen durch konforme Abbildung einer endlichblättrigen Überlagerungsfläche der Riemannschen Fläche von \(K/k\) auf eine endlichblättrige Überiagerungsfläche von \(K/k\) definiert werden.

MSC:

11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
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Full Text: DOI Crelle EuDML