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Parametrized \(\in_{T}\)-logic. A theory of the extension of abstract logics concerning the concepts of truth, reference and classical negation. (Parametrisierte \(\in_{T}\)-Logik. Eine Theorie der Erweiterung abstrakter Logiken um die Konzepte Wahrheit, Referenz und klassische Negation.) (German) Zbl 0992.03013
Berlin: Logos Verlag. Berlin: TU Berlin (Diss. 1999), vi, 145 S. (2000).
Zusammenfassung: Aufgrund der Schwierigkeiten, die die bekannte Antinomie vom Lügner bereitet, sowie der Arbeiten Alfred Tarskis, ist bekannt, dass Sprachen, die die Konzepte Wahrheit, Referenz und klassische Negation enthalten, eine gewisse Anfälligkeit gegenüber Widersprüchen haben. Diese äußern sich häufig darin, dass bestimmten Aussagen der Sprache nicht widerspruchsfrei ein Wahrheitswert zugeordnet werden kann. Durch Einschränkung eines oder mehrerer der obigen Konzepte können jedoch widerspruchsfreie formale Sprachen konstruiert werden. Eine solche Sprache ist die von Werner Sträter entwickelte \(\in_T\)-Logik [W. Sträter, “\(\in_T\) Eine Logik erster Stufe mit Selbstreferenz und totalem Wahrheitsprädikat”, Forschungsbericht, KIT-Report-98, TU Berlin (1992)], die eine klassische Negation und ein totales Wahrheitsprädikat besitzt, die Referenz von Aussagen aber dadurch einschränkt, dass selbstreferente Aussagen nicht direkt formuliert werden können, sondern durch – gegebenenfalls nicht erfüllbare – Gleichungen beschrieben werden. In der vorliegenden Arbeit wird die Idee Sträters aufgegriffen und dargelegt, wie andere Logiken mit Hilfe der \(\in_T\)-Logik erweitert werden können. Entwickelt wird eine parametrisierte Form der \(\in_T\)-Logik, das ist eine Logik, die aus zwei Komponenten besteht, nämlich zum einen der \(\in_T\)-Logik als Rahmenwerk und zum anderen einer untergeschobenen Logik. Letztere ist dabei variabel, das heißt, für jede untergeschobene Logik \({\mathcal L}\) ergibt sich eine spezielle \(\in_T\)-Logik \({\mathcal L}^*\), genannt \(\in_T\)-Erweiterung von \({\mathcal L}\).
Zu Beginn der Arbeit wird präzisiert, was unter einer Logik im abstrakten Sinne zu verstehen ist. Anschließend wird der Begriff der \(\in_T\)-Erweiterung so definiert, dass grundlegende Begriffe der untergeschobenen Logik, wie Folgerungs-, Allgemeingültigkeits- und Konsistenzbegriff, erhalten bleiben. Im Hauptteil der Arbeit werden dann die durch \(\in_T\)-Erweiterung entstandenen Logiken mit Hilfe klassischer Fragestellungen untersucht. Im Vordergrund stehen dabei modelltheoretische Fragen, sowie die Frage nach der Existenz eines korrekten und vollständigen Kalküls. Es wird bewiesen, dass in vielen praktischen Fällen ein solcher Kalkül existiert und dass sich wichtige modelltheoretische Sätze wie der Kompaktheitssatz oder die Sätze von Löwenheim-Skolem übertragen lassen. Ein zentrales Ergebnis der Arbeit Sträters besteht in dem Nachweis der Existenz sogenannter intensionaler Strukturen. Dabei handelt es sich um Strukturen, in denen möglichst wenig Ausdrücke identifiziert, das heißt identisch interpretiert, werden. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass auch die erweiterten Logiken solche Strukturen besitzen. Der Beweis dieser Behauptung läßt sich auf die \(\in_T\)-Logik übertragen und ist dann deutlich kürzer und übersichtlicher, als der von Sträter geführte Beweis.

MSC:
03B22 Abstract deductive systems
03-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to mathematical logic and foundations
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