On the stability of the solutions of Mathieu’s equation. (English) JFM 54.0469.02

Van der Pol, B.; Strutt, M. J. O.

Philos. Magazine (7) 5, 18-38 (1928).

Die Verf. betrachten, ausgehend von der Darstellung in der “Modern analysis” von Whittaker und Watson, die Mathieusche Differentialgleichung \[ (1)\quad \frac{d^2y}{dx^2}+(\omega^2+\alpha^2 \cos x)y=0 \] sowie die allgemeineren Gleichungen \[ \begin{aligned} (2)\quad &\frac{d^2y}{dx^2}+\left\{ \omega^2+\frac{4\alpha^2}{\pi} (\cos x-\frac 13 \cos 3x+\frac 15 \cos 5x - \cdots) \right\}y=0, \\ (3)\quad &\frac{d^2y}{dx^2}+y \cdot F(x)=0,\;F(x)\;\text{periodisch mit der Periode}\;2\pi.\end{aligned} \] Eine beliebige Lösung \(y(x)\) von (3) wird unstabil bzw. stabil genannt, wenn der in der Beziehung \[ y(x+2\pi)=\sigma y(x) \] auftretende Faktor \(\sigma\) der Bedingung \(|\sigma| \geqq 1\) bzw. \(|\sigma|<1\) genügt. Die Verf. untersuchen, wann bei den Gleichungen (1) und (2) unstabile oder stabile Lösungen auftreten. (IV 6 B.)

Reviewer: Feigl, G., Dr. (Berlin)