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Sugli enti analitici. (Italian) JFM 37.0409.03
Es handelt sich um gewisse Verallgemeinerungen der Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Das von Segre auf algebraische Funktionen angewendete Verfahren der mehrfach wiederholten Ersetzung reeller Veränderlicher durch komplexe Veränderliche überträgt der Verf. nun auch auf analytische Funktionen überhaupt. Zu diesem Zwecke stellt er aber zunächst eine konsequente Terminologie auf, an der es bisher gefehlt hat, und die allerdings unentbehrlich ist, wenn man Zweideutigkeiten vermeiden will. Zum Beispiel unterscheidet er die Begriffe Raum und Mannigfaltigkeit, indem er das Wort Raum von \(n\) Dimensionen nur auf einen Inbegriff von \(\infty^n\) reellen Wertsystemen, das Wort Mannigfaltigkeit von \(n\) Dimensionen nur auf einen Inbegriff von \(\infty^{2n}\) komplexen Wertsystemen anwendet. In einem Raume \(R_{2n}\) von \(2n\) Dimensionen, der aus den \(\infty^{2n}\) reellen Wertsystemen \(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n\) besteht, die zu \(n\) komplexen Veränderlichen \(z_{\nu}=x_{\nu}+iy_{\nu}\) \((\nu =1,\dots ,n)\) gehören, wird jeder \(R_{2m}\) als “synektisch” bezeichnet, wenn er durch analytische Gleichungen von der Form: \(x_{\nu }+iy_{\nu }=f_{\nu}(t_1,\dots ,t_m)\) \((\nu =1,\dots ,n)\) definiert werden kann, wo die \(t_{\mu}\) komplexe Veränderliche sind. Ersetzt man dann in den in reeller Form geschriebenen Gleichungen eines solchen synektischen \(R_{2m}\) die \(x_{\nu},y_{\nu}\) durch komplexe Veränderliche, so erhält man eine synektische Mannigfaltigkeit von \(2m\) Dimensionen in einer Mannigfaltigkeit \(M_{2n}\) von \(2n\) Dimensionen. Der Verf. gibt ein einfaches Kriterium dafür an, ob ein vorgelegter \(R_{2m}\) des \(R_{2n}\) synektisch ist oder nicht. Er betrachtet dann in \(R_{2n}\) die aus zwei getrennten Scharen bestehende unendliche Gruppe aller synektischen Transformationen, die dadurch charakterisiert ist, daß sie alle synektischen Räume untereinander vertauscht. Auch diese Gruppe kann erweitert werden, indem man die \(x_{\nu},y_{\nu}\) als komplexe Veränderliche betrachtet. Man erhält so in der \(M_{2n}\) eine neue Gruppe, der gegenüber mit jedem der \(\infty^{2n}\) Punkte der \(M_{2n}\) ein Paar von reellen Punkten des \(R_{2n}\) invariant verknüpft ist, so daß die Punkte des \(R_{2n}\) eindeutig umkehrbar auf die Paare von reellen Punkten des \(R_n\) abgebildet werden. Beim Studium dieser Abbildung ergeben sich z. B. die synektischen Mannigfaltigkeiten als eine besondere Kategorie einer allgemeinen Art, die der Verf. Segresche Mannigfaltigkeiten nennt. Den übrigen Inhalt der Arbeit mit kurzen Worten wiederzugeben ist kaum möglich, ohne die Terminologie des Verf. zu benutzen, die vollständig zusammenzustellen hier doch nicht angeht.
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References:
[1] T. Levi-Civita,Sulle funzioni di due o più variabili complesse [Rend. Acc. Lincei, vol. XIV (1905), 2\(\deg\) semestre, pp. 492–499]. · JFM 36.0482.01
[2] CorradoSegre,Le rappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti iperalgebrici [Math. Annalen, XL (1892), pp. 413–467]. · JFM 24.0640.01 · doi:10.1007/BF01443559
[3] Cfr.Segre, loc. cit., pag. 440.
[4] Segre, loc. cit., pag. 455.
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