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A law of reciprocity in the theory of algebraic functions. (Ein Reciprocitätsgesetz in der Theorie der algerbraischen Functionen.) (German) JFM 22.0393.01
Leipz. Ber. XLII. 153-171 (1890).
Um die auf dem Riemann-Roch’schen Satze beruhenden Sätze der Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen einfacher formuliren zu können, hält es der Verfasser für zweckmässig, folgende Begriffe einzuführen. Zunächst wird der Begriff “der linearen Unabhängigkeit”, dessen Bedeutung für algebraische Functionen offenbar ist, auch auf die Punktgruppen übertragen, welche durch Nullsetzen dieser algebraischen Functionen bestimmt sind. Dann wird die “Abhängigkeit \(\mu_r\) einer Punktgruppe \(G_m\) in Bezug auf die Schar \(g_r\)” durch die Gleichung \(\mu_r = m - \varrho + m_r\) definirt, worin \(m_r\) die Zahl der linear unabhängigen Punktgruppen der Schar \(g_r\) bedeutet, in denen die Punktgruppe \(G_m\) enthalten ist; dabei ist \(\varrho\) die Zahl, welche angiebt, wie viel linear unabhängige Punktgruppen die Schar \(g_r\) überhaupt enthält. Der Riemann-Roch’sche Satz lautet unter Benutzung dieser Bezeichnungen, wie folgt: Die Beweglichkeit einer Punktgruppe auf einem algebraischen Gebilde ist gleich ihrer Abhängigkeit in Bezug auf die Specialschar \(g_{2p-2}\), wo \(p\) das Geschlecht der algebraischen Curve bedeutet, so dass \(\varrho =p\) zu setzen ist. Zufolge der Festsetzung, welche der Verfasser betreffs der Bedeutung der eben definirten Zahlen in gewissen Grenzfällen macht, gilt diese Fassung des Riemann-Roch’schen Satzes auch noch für diejenigen Fälle, wo die Grundcurve das Geschlecht 0 oder 1 besitz. Doch muss hervorgehoben werden, dass die usprüngliche Fassung des Riemann-Roch’schen Satzes diesen Vorzug ebenfalls besitzt. In entsprechender Weise werden auch die an den Riemann-Roch’schen Satz anknüpfenden Sätze über reciproke Punktgruppen und Scharen behandelt, wobei auch der Cayley’sche Schnittpunktsatz seine Stelle findet. Von den behandelten Sätzen sei nur erstere erwähnt, welcher wie folgt lautet: Die Anzahl der linear unabhängigen Specialgruppen \(G_{2p-2}\), die eine Punktgruppe \(G_l\) der Schar \(g_l\) enthalten, ist gleich der Schar der linear unabhängigen Punktgruppen \(G_{l'}\) der zu \(g_l\) reciproken Schar \(g_{l'}\), die eine Punktgruppe \(G_n\) der Schar \(g_n\) enthalten, dabei ist \(l+l'=n+2p-2\).
MSC:
14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry