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Beiträge zur Theorie der Gruppen linearer homogener Substitutionen. (German) JFM 40.0181.01

Die Arbeit knüpft an eine von Loewy (American M. S. Trans. 6, 504; F. d. M. 36, 195, 1905, JFM 36.0195.01) angegebene besondere Form der Reduktion einer Gruppe \({\mathfrak G}\) linearer homogener Substitutionen an, die Loewy als die Zerlegung der Gruppe unter Hervorhebung der zu ihr gehörenden, aufeinander folgenden, vollständig reduziblen Gruppen bezeichnet. Diese Zerlegung läßt sich, wenn die Koeffizienten aller Substitutionen von \({\mathfrak G}\) einem gegebenen Zahlkörper \(\Omega\) angehören, auch innerhalb des Körpers \(\Omega\) durchführen. Auf diese Weise erhält Loewy ein System von gewissen zu \({\mathfrak G}\) gehörenden Gruppen \({\mathfrak A}_1,{\mathfrak A}_2,\dots,{\mathfrak A}_\mu\) mit Koeffizienten aus \(\Omega\), die in diesem Körper vollständig reduzibel sind. Der Verf. zeigt nun, daß diese Gruppen, wenn man ähnliche Gruppen als nicht voneinander verschieden ansieht, von der Wahl des Körpers \(\beta\) gänzlich unabhängig sind. Zur Begründung dieses Resultats entwickelt der Verf. eine Reihe von Sätzen über die in einem Körper \(\Omega\) irreduziblen Gruppen, die ganz analog sind den Sätzen, die er für den speziellen Fall der endlichen Gruppen bereits in einer früheren Arbeit (Berl. Ber. 1906, 164) bewiesen hat. Es ergibt sich zugleich ein neuer einfacher Beweis für den von Taber (C. R. 142, 948, 1906) herrührenden wichtigen Satz: Jede in einem gegebenen Zahlkörper irreduzible Gruppe ist im Bereich aller Zahlen vollständig reduzibel.

Citations:

JFM 36.0195.01
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